Witajcie, młodzi matematycy! Przygotowujemy się do sprawdzianu z potęg i pierwiastków. Nowa Era Klasa 7. Brzmi strasznie? Nie martwcie się! Rozłożymy to na czynniki pierwsze (żart matematyczny!).
Potęgi: Moc Powtarzającego się Mnożenia
Wyobraźcie sobie budowanie wieży z klocków. Potęga to po prostu skrócony sposób na opisanie, ile razy mnożymy liczbę przez samą siebie.
Podstawa potęgi to liczba, którą mnożymy. To jak fundament naszej wieży.
Wykładnik potęgi mówi nam, ile razy mamy pomnożyć podstawę przez samą siebie. To liczba klocków w każdej warstwie i ilość warstw.
Na przykład, 23 (czytamy: dwa do potęgi trzeciej) to jak 2 x 2 x 2. Mnożymy 2 przez siebie 3 razy. Wynik to 8.
Pomyślcie o hodowli bakterii. Bakteria dzieli się na dwie. Potem te dwie dzielą się na cztery, a potem na osiem. To wzrost potęgowy! 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8.
Potęgowanie z zerem
Każda liczba (oprócz zera) podniesiona do potęgi zerowej daje 1. To zasada, którą trzeba zapamiętać. Jakbyśmy w ogóle nie budowali wieży – mamy pustą przestrzeń, czyli 1.
50 = 1, 1000 = 1, nawet (–3)0 = 1.
Potęgowanie z jedynką
Każda liczba podniesiona do potęgi pierwszej daje samą siebie. Proste, prawda? Budujemy tylko jedną warstwę z tą liczbą klocków.
71 = 7, 251 = 25.
Potęgi o wykładniku ujemnym
To trochę bardziej skomplikowane. Ujemny wykładnik oznacza, że mamy do czynienia z odwrotnością liczby.
Na przykład, 2-1 to to samo co 1/2 (jedna druga).
3-2 to to samo co 1/(32) = 1/9 (jedna dziewiąta).
Pomyślcie o dzieleniu pizzy. Wykładnik ujemny mówi nam, że musimy podzielić pizzę na coraz więcej kawałków.
Pierwiastki: Odwracanie Potęgowania
Pierwiastek to jak cofanie potęgowania. Pytamy: "Jaka liczba pomnożona przez samą siebie (odpowiednią ilość razy) da nam tę liczbę pod pierwiastkiem?"
Pierwiastek kwadratowy (oznaczany symbolem √) to szukanie liczby, która pomnożona przez samą siebie da nam liczbę pod pierwiastkiem.
Na przykład, √9 = 3, ponieważ 3 x 3 = 9. Pomyślcie o układaniu kwadratu. Mamy 9 klocków. Ile klocków musi być na każdym boku, żeby ułożyć kwadrat? 3!
Pierwiastek sześcienny (oznaczany symbolem 3√) to szukanie liczby, która pomnożona przez samą siebie TRZY razy da nam liczbę pod pierwiastkiem.
Na przykład, 3√8 = 2, ponieważ 2 x 2 x 2 = 8. Pomyślcie o budowaniu sześcianu. Mamy 8 klocków. Ile klocków musi być na każdym boku sześcianu? 2!
Pierwiastki a Liczby Niewymierne
Niektóre pierwiastki, jak √2 lub √3, nie dają nam liczb całkowitych ani ułamków. To liczby niewymierne. Mają nieskończone rozwinięcie dziesiętne, które się nie powtarza.
Nie da się idealnie ułożyć z nich kwadratu z klocków bez łamania ich na mniejsze części o nieskończenie małych rozmiarach.
Działania na Potęgach i Pierwiastkach
Teraz, kiedy rozumiemy, czym są potęgi i pierwiastki, zobaczmy, jak możemy na nich działać.
Mnożenie Potęg o Tej Samej Podstawie
Kiedy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. am * an = am+n.
Przykład: 22 * 23 = 22+3 = 25 = 32.
Mamy dwie wieże z klocków. Dołączamy je do siebie, aby utworzyć jedną dużą.
Dzielenie Potęg o Tej Samej Podstawie
Kiedy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki. am / an = am-n.
Przykład: 35 / 32 = 35-2 = 33 = 27.
Odejmujemy mniejszą wieżę od większej.
Potęgowanie Potęgi
Kiedy podnosimy potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki. (am)n = am*n.
Przykład: (52)3 = 52*3 = 56 = 15625.
Budujemy wieżę, a potem budujemy z tych wież jeszcze większą wieżę.
Pierwiastek z Potęgi
Pierwiastek z potęgi to potęga liczby pod pierwiastkiem podniesiona do potęgi, która jest ułamkiem. Licznik tego ułamka jest potęgą liczby, a mianownik jest stopniem pierwiastka.
Przykład: √(43) = (43)1/2 = 43/2 = (41/2)3 = 23 = 8.
Pamietajcie: ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiązujcie zadania z podręcznika i zeszytu ćwiczeń. Wyobrażajcie sobie potęgi i pierwiastki jako budowle z klocków, pizzę dzieloną na kawałki, albo kolonie bakterii. A przede wszystkim, nie bójcie się pytać!
