Hej! Przygotowujesz się do sprawdzianu z potęg i pierwiastków? Super! Ten przewodnik pomoże Ci wszystko usystematyzować i poczuć się pewniej.
Potęgi
Zacznijmy od podstaw. Potęga to skrócony sposób zapisu mnożenia tej samej liczby przez siebie.
Definicja potęgi
an oznacza, że liczbę a mnożymy przez siebie n razy. a to podstawa potęgi, a n to wykładnik potęgi.
Przykład: 23 = 2 * 2 * 2 = 8
Potęga o wykładniku naturalnym
Wykładnik naturalny (1, 2, 3, ...) mówi nam, ile razy mnożymy podstawę przez siebie.
Pamiętaj: a1 = a, czyli każda liczba podniesiona do potęgi pierwszej to ona sama.
Przykład: 51 = 5
Potęga o wykładniku zerowym
Dowolna liczba (oprócz 0) podniesiona do potęgi zerowej daje 1.
a0 = 1, dla a ≠ 0
Przykład: 70 = 1
Potęga o wykładniku ujemnym
a-n = 1 / an. Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim.
Przykład: 2-2 = 1 / 22 = 1 / 4
Działania na potęgach
Mamy kilka ważnych reguł dotyczących działań na potęgach:
Mnożenie potęg o tych samych podstawach: am * an = am+n. Wykładniki dodajemy.
Przykład: 22 * 23 = 22+3 = 25 = 32
Dzielenie potęg o tych samych podstawach: am / an = am-n. Wykładniki odejmujemy.
Przykład: 35 / 32 = 35-2 = 33 = 27
Potęgowanie potęgi: (am)n = am*n. Wykładniki mnożymy.
Przykład: (52)3 = 52*3 = 56 = 15625
Potęgowanie iloczynu: (a * b)n = an * bn. Każdy czynnik podnosimy do potęgi.
Przykład: (2 * 3)2 = 22 * 32 = 4 * 9 = 36
Potęgowanie ilorazu: (a / b)n = an / bn. Zarówno licznik, jak i mianownik podnosimy do potęgi.
Przykład: (4 / 2)3 = 43 / 23 = 64 / 8 = 8
Pierwiastki
Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Pytamy: "Jaką liczbę podnieść do danej potęgi, żeby otrzymać zadaną liczbę?"
Definicja pierwiastka
n√a = b oznacza, że bn = a. n to stopień pierwiastka, a a to liczba podpierwiastkowa.
Przykład: 2√9 = 3, ponieważ 32 = 9
Pierwiastek kwadratowy
Pierwiastek kwadratowy to pierwiastek stopnia drugiego (n = 2). Zwykle nie piszemy 2 przy symbolu pierwiastka.
√a oznacza 2√a
Przykład: √16 = 4, ponieważ 42 = 16
Pierwiastek sześcienny
Pierwiastek sześcienny to pierwiastek stopnia trzeciego (n = 3).
3√a oznacza pierwiastek sześcienny z a.
Przykład: 3√8 = 2, ponieważ 23 = 8
Działania na pierwiastkach
Podobnie jak w przypadku potęg, mamy kilka reguł dotyczących działań na pierwiastkach:
Pierwiastek z iloczynu: n√(a * b) = n√a * n√b. Pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków.
Przykład: √ (4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6
Pierwiastek z ilorazu: n√(a / b) = n√a / n√b. Pierwiastek z ilorazu to iloraz pierwiastków.
Przykład: √(16 / 4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2
Pierwiastek z pierwiastka: m√(n√a) = m*n√a. Stopnie pierwiastków mnożymy.
Przykład: 3√(√64) = 3*2√64 = 6√64 = 2
Włączanie czynnika pod pierwiastek
a√b = √(a2 * b) (dla pierwiastka kwadratowego). Wnosimy liczbę "a" pod pierwiastek, podnosząc ją do kwadratu.
Przykład: 2√3 = √(22 * 3) = √(4 * 3) = √12
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Szukamy czynnika, który jest kwadratem liczby i możemy go wyciągnąć przed pierwiastek.
Przykład: √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2
Podsumowanie
Pamiętaj! Potęgi i pierwiastki to działania odwrotne. Kluczowe są definicje i reguły dotyczące działań na nich.
Potęgi:
- an - mnożenie a przez siebie n razy
- a0 = 1
- a-n = 1 / an
- am * an = am+n
- am / an = am-n
- (am)n = am*n
- (a * b)n = an * bn
- (a / b)n = an / bn
Pierwiastki:
- n√a = b, jeśli bn = a
- n√(a * b) = n√a * n√b
- n√(a / b) = n√a / n√b
- m√(n√a) = m*n√a
Powodzenia na sprawdzianie! Pamiętaj o ćwiczeniach i rozwiązywaniu zadań. Dasz radę!
