Potęga O Wykładniku Wymiernym Zadania Liceum Pdf

Zacznijmy od podstaw. Czym jest potęga o wykładniku wymiernym? To uogólnienie pojęcia potęgi, gdzie wykładnik jest liczbą wymierną, czyli taką, którą można zapisać w postaci ułamka.

Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych, na przykład 1/2, 3/4, -5/7. Rozszerzamy definicję potęgowania poza wykładniki całkowite.

Definicja potęgi o wykładniku wymiernym

Jeśli mamy liczbę a, która jest liczbą dodatnią (a > 0), oraz liczbę wymierną m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną większą od zera (n > 0), to potęgę a do potęgi m/n definiujemy jako:

a^m/n = ⁿ√a^m

Oznacza to, że podnosimy liczbę a do potęgi m, a następnie wyciągamy z tego pierwiastek n-tego stopnia.

Ważne jest, aby a było liczbą dodatnią. Wynika to z faktu, że pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych.

Przykłady

Weźmy liczbę 4 i wykładnik 1/2. Zgodnie z definicją:

4^1/2 = √4 = 2

Podobnie, 8^1/3 = ³√8 = 2. Wyciągamy pierwiastek trzeciego stopnia z 8.

Inny przykład: 9^3/2 = √(9³) = √(729) = 27. Najpierw podnosimy 9 do potęgi 3, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy.

Własności potęg o wykładnikach wymiernych

Potęgi o wykładnikach wymiernych podlegają podobnym prawom jak potęgi o wykładnikach całkowitych. Oto najważniejsze z nich:

1. Iloczyn potęg o tej samej podstawie: a^x * a^y = a^x+y. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki.

2. Iloraz potęg o tej samej podstawie: a^x / a^y = a^x-y. Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki.

3. Potęga potęgi: (a^x)^y = a^x*y. Podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki.

4. Potęga iloczynu: (a*b)^x = a^x * b^x. Potęga iloczynu jest iloczynem potęg.

5. Potęga ilorazu: (a/b)^x = a^x / b^x. Potęga ilorazu jest ilorazem potęg.

Przykłady zastosowania własności

Uprośćmy wyrażenie: 2^1/2 * 2^3/2. Korzystając z pierwszej własności, dodajemy wykładniki: 2^{1/2 + 3/2} = 2^4/2 = 2² = 4.

Uprośćmy: (9^1/4)². Korzystając z trzeciej własności, mnożymy wykładniki: 9^{1/4 * 2} = 9^1/2 = √9 = 3.

Zadania z potęgami o wykładnikach wymiernych

Rozwiązywanie zadań z potęgami o wykładnikach wymiernych wymaga dobrej znajomości definicji i własności potęg. Ważne jest, aby umieć zamieniać potęgi na pierwiastki i odwrotnie. Ćwiczenie jest kluczem do sukcesu.

Przykład 1: Oblicz 16^3/4.

Rozwiązanie: 16^3/4 = ⁴√16³ = ⁴√4096 = 8. Alternatywnie, 16^3/4 = (16^1/4)³ = (⁴√16)³ = 2³ = 8.

Przykład 2: Uprość wyrażenie: (x^1/3 * y^2/3)³.

Rozwiązanie: (x^1/3 * y^2/3)³ = (x^1/3)³ * (y^2/3)³ = x^{1/3 * 3} * y^{2/3 * 3} = x¹ * y² = x * y².

Przykład 3: Rozwiąż równanie: x^1/2 = 5.

Rozwiązanie: Aby pozbyć się potęgi 1/2, podnosimy obie strony równania do kwadratu: (x^1/2)² = 5², co daje x = 25.

Pamiętaj o sprawdzaniu rozwiązań, zwłaszcza gdy masz do czynienia z pierwiastkami, aby uniknąć rozwiązań fałszywych. W tym przypadku, √25 = 5, więc rozwiązanie jest poprawne.

Praktyczne zastosowania

Potęgi o wykładnikach wymiernych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria, ekonomia i informatyka. Są używane do modelowania wzrostu populacji, obliczania wartości inwestycji, analizy sygnałów i wielu innych.

Na przykład, w fizyce, energia kinetyczna ciała o masie m i prędkości v jest proporcjonalna do v², czyli prędkości podniesionej do potęgi 2. W ekonomii, oprocentowanie składane może być modelowane za pomocą potęg.

Zrozumienie potęg o wykładnikach wymiernych jest kluczowe dla dalszego rozwoju w matematyce i naukach pokrewnych. To fundament, który pozwala na zrozumienie bardziej zaawansowanych koncepcji.