Hej! Przygotowujesz się do sprawdzianu z potęg o wykładniku wymiernym? Super! Ten przewodnik pomoże Ci usystematyzować wiedzę i poćwiczyć rozwiązywanie zadań. Zaczynamy!
Podstawy potęg o wykładniku wymiernym
Potęga o wykładniku wymiernym to nic innego jak uogólnienie pojęcia pierwiastka.
Pamiętaj, że wykładnik wymierny to liczba, którą można zapisać w postaci ułamka.
Definicja
Jeżeli a jest liczbą dodatnią, a m i n są liczbami naturalnymi oraz n > 1, to:
am/n = n√am
Innymi słowy, a podniesione do potęgi m/n to pierwiastek n-tego stopnia z a podniesionego do potęgi m.
Na przykład: 41/2 = √4 = 2
Własności potęg o wykładniku wymiernym
Własności potęg o wykładniku wymiernym są bardzo podobne do własności potęg o wykładniku całkowitym.
1. Mnożenie potęg o tej samej podstawie:
ax * ay = ax+y
2. Dzielenie potęg o tej samej podstawie:
ax / ay = ax-y
3. Potęgowanie potęgi:
(ax)y = ax*y
4. Potęgowanie iloczynu:
(a * b)x = ax * bx
5. Potęgowanie ilorazu:
(a / b)x = ax / bx
Przykładowe ćwiczenia
Teraz przejdziemy do praktyki. Rozwiążmy kilka przykładów, żeby utrwalić wiedzę.
Ćwiczenie 1
Oblicz: 82/3
Rozwiązanie:
82/3 = 3√82 = 3√64 = 4
Ćwiczenie 2
Uprość wyrażenie: (x1/2 * y3/4)4
Rozwiązanie:
(x1/2 * y3/4)4 = x(1/2)*4 * y(3/4)*4 = x2 * y3
Ćwiczenie 3
Oblicz: (271/3 + 161/4) / 50
Rozwiązanie:
Pamiętaj, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 równa się 1 (z wyjątkiem 00, które jest nieokreślone).
(271/3 + 161/4) / 50 = (3√27 + 4√16) / 1 = (3 + 2) / 1 = 5
Ćwiczenie 4
Uprość wyrażenie: (a-1/2 * b2/3) / (a1/4 * b-1/6)
Rozwiązanie:
(a-1/2 * b2/3) / (a1/4 * b-1/6) = a(-1/2) - (1/4) * b(2/3) - (-1/6) = a-3/4 * b5/6
Można to zapisać również jako: b5/6 / a3/4
Ćwiczenie 5
Oblicz: (√3)3 * (3√9)2
Rozwiązanie:
Najpierw zamień pierwiastki na potęgi:
(√3)3 = (31/2)3 = 33/2
(3√9)2 = (3√32)2 = (32/3)2 = 34/3
Teraz pomnóż:
33/2 * 34/3 = 3(3/2) + (4/3) = 317/6
Wskazówki i triki
1. Zamiana pierwiastków na potęgi: To klucz do rozwiązywania wielu zadań. Pamiętaj o definicji: n√am = am/n
2. Upraszczanie wykładników: Zawsze staraj się upraszczać wykładniki, szczególnie jeśli są to ułamki.
3. Wykorzystywanie własności potęg: Znajomość własności potęg jest niezbędna do efektywnego rozwiązywania zadań.
4. Uważaj na znaki: Szczególnie przy potęgach ujemnych i ułamkowych. Pamiętaj, że a-x = 1/ax
5. Ćwicz, ćwicz i jeszcze raz ćwicz: Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz temat i szybciej będziesz rozwiązywał zadania na sprawdzianie.
Podsumowanie
Potęgi o wykładniku wymiernym to ważne zagadnienie w matematyce. Kluczem do sukcesu jest zrozumienie definicji, własności potęg i regularne ćwiczenia.
Pamiętaj o zamianie pierwiastków na potęgi, upraszczaniu wykładników i wykorzystywaniu własności potęg.
Powodzenia na sprawdzianie! Wierzę w Ciebie!
