Witaj! Chcesz nauczyć się obliczać pole trójkąta, gdy znasz tylko jego wierzchołki w układzie współrzędnych? To prostsze niż myślisz! Przygotuj się na fascynującą podróż po geometrii analitycznej.
Co to jest układ współrzędnych?
Wyobraź sobie mapę miasta. Ulice pionowe i poziome tworzą siatkę. Każdy punkt na tej mapie możemy określić, podając numer ulicy pionowej (np. x) i poziomej (np. y). To właśnie jest idea układu współrzędnych!
Technicznie rzecz biorąc, układ współrzędnych, a konkretnie układ współrzędnych kartezjańskich, to dwie proste prostopadłe (osie) przecinające się w jednym punkcie, zwanym początkiem układu współrzędnych. Oś pozioma to oś x (odcięta), a oś pionowa to oś y (rzędna). Każdy punkt na płaszczyźnie ma swoje współrzędne, zapisywane jako para liczb (x, y). Na przykład, punkt (2, 3) znajduje się w odległości 2 jednostek od osi y i 3 jednostek od osi x.
Pole trójkąta - przypomnienie
Zanim przejdziemy do wzorów w układzie współrzędnych, przypomnijmy sobie podstawowy wzór na pole trójkąta. Na pewno go znasz: P = (1/2) * a * h, gdzie a to długość podstawy, a h to wysokość opuszczona na tę podstawę. Pamiętaj, wysokość musi być prostopadła do podstawy!
Czy ten wzór nam się przyda? Trochę tak, ale obliczanie podstawy i wysokości, mając tylko współrzędne wierzchołków, byłoby bardzo uciążliwe. Na szczęście jest sprytniejszy sposób!
Wzór na pole trójkąta w układzie współrzędnych
Mamy trójkąt o wierzchołkach A(xA, yA), B(xB, yB) i C(xC, yC). Wtedy pole tego trójkąta możemy obliczyć za pomocą następującego wzoru:
P = (1/2) * |(xB - xA)(yC - yA) - (xC - xA)(yB - yA)|
Wygląda trochę strasznie, prawda? Ale spokojnie, zaraz go rozłożymy na czynniki pierwsze. Ważne jest, żeby zapamiętać kolejność współrzędnych i znak bezwzględnej wartości (oznaczony przez | |). Ta wartość bezwzględna oznacza, że jeśli wynik obliczeń wewnątrz nawiasów będzie ujemny, to zmieniamy jego znak na dodatni. Pole zawsze musi być liczbą dodatnią!
Jak zapamiętać wzór?
Istnieje kilka sposobów na zapamiętanie tego wzoru. Jednym z nich jest zapamiętanie go jako wyznacznik macierzy 2x2. To może brzmieć skomplikowanie, ale chodzi o to, żeby zapamiętać schemat:
P = (1/2) * | xB - xA xC - xA | | yB - yA yC - yA |
Wyznacznik macierzy 2x2 obliczamy, mnożąc elementy na przekątnej głównej (od lewej góry do prawej dołu) i odejmując od tego iloczyn elementów na przekątnej pobocznej (od prawej góry do lewej dołu). Czyli dokładnie to, co mamy we wzorze na pole!
Inny sposób to zapamiętanie go jako kombinację różnic współrzędnych. Zauważ, że zawsze odejmujemy współrzędne wierzchołka A od współrzędnych wierzchołków B i C.
Przykład użycia wzoru
Załóżmy, że mamy trójkąt o wierzchołkach A(1, 1), B(4, 2) i C(2, 5). Obliczmy jego pole:
1. Podstawiamy współrzędne do wzoru: P = (1/2) * |(4 - 1)(5 - 1) - (2 - 1)(2 - 1)|
2. Upraszczamy wyrażenia w nawiasach: P = (1/2) * |(3)(4) - (1)(1)|
3. Wykonujemy mnożenie: P = (1/2) * |12 - 1|
4. Wykonujemy odejmowanie: P = (1/2) * |11|
5. Bierzemy wartość bezwzględną (w tym przypadku nic się nie zmienia, bo wynik jest dodatni): P = (1/2) * 11
6. Obliczamy pole: P = 5.5
Pole trójkąta wynosi 5.5 jednostki kwadratowej.
Kolejność wierzchołków
Czy kolejność wierzchołków A, B i C ma znaczenie? Okazuje się, że tak, ale tylko jeśli chodzi o znak wyniku wewnątrz wartości bezwzględnej. Zamiana kolejności wierzchołków może zmienić znak wyniku na przeciwny, ale wartość bezwzględna i tak "naprawi" ten problem.
Dlatego ważne jest, żeby używać wartości bezwzględnej. Jeśli zapomnisz o wartości bezwzględnej, możesz otrzymać ujemne pole, co jest oczywiście niemożliwe. Ujemny wynik oznacza tylko, że wierzchołki zostały podane w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara.
Dlaczego to działa? (Krótko!)
Wzór na pole trójkąta w układzie współrzędnych jest wyprowadzany z wykorzystaniem pojęcia wektorów i wyznacznika macierzy. Nie będziemy wchodzić w szczegóły, ale w skrócie: wzór ten pozwala obliczyć pole trójkąta, wykorzystując jedynie informacje o położeniu jego wierzchołków w przestrzeni. Jest to bardzo potężne narzędzie w geometrii analitycznej.
Podsumowanie
Obliczanie pola trójkąta w układzie współrzędnych to przydatna umiejętność, która pozwala rozwiązywać różne problemy geometryczne. Pamiętaj o wzorze, o wartości bezwzględnej i o tym, że pole zawsze musi być liczbą dodatnią. Poćwicz na kilku przykładach, a na pewno szybko opanujesz tę technikę!
Powodzenia!
