Hej! Przygotujmy się razem do egzaminu z geometrii. Dzisiaj zajmiemy się zadaniem: Pole trójkąta równoramiennego jest równe 48. Brzmi strasznie? Spokojnie, rozłożymy to na czynniki pierwsze!
Podstawowe Definicje i Wzory
Zacznijmy od podstaw. Co to jest trójkąt równoramienny? Jest to trójkąt, który ma dwa boki równej długości. Te boki nazywamy ramionami.
Trzeci bok nazywamy podstawą. Ważne jest to, że kąty przy podstawie są równe!
A co z polem trójkąta? Przypomnijmy sobie wzór: P = (1/2) * a * h. Gdzie P to pole, a to długość podstawy, a h to wysokość trójkąta.
Pamiętajmy też o twierdzeniu Pitagorasa: a2 + b2 = c2. Przyda się nam do obliczeń w trójkącie prostokątnym, który często pojawia się przy obliczaniu wysokości w trójkącie równoramiennym.
Analiza Zadania
Wiemy, że pole trójkąta równoramiennego wynosi 48. Czyli: (1/2) * a * h = 48.
Mamy jedną informację i dwie niewiadome: a i h. Potrzebujemy czegoś więcej, żeby móc rozwiązać zadanie. Często w zadaniach tego typu podana jest jeszcze jedna informacja, na przykład zależność między długością podstawy a wysokością, albo długość ramienia.
Załóżmy, że w naszym zadaniu dodatkowo wiemy, że wysokość jest równa długości podstawy. Czyli h = a.
Rozwiązanie Zadania Krok po Kroku
Teraz możemy podstawić h = a do wzoru na pole: (1/2) * a * a = 48.
Uprośćmy to: (1/2) * a2 = 48.
Pomnóżmy obie strony przez 2: a2 = 96.
Teraz obliczamy pierwiastek kwadratowy z 96: a = √96.
Możemy uprościć pierwiastek: a = √(16 * 6) = 4√6.
Skoro h = a, to h = 4√6.
Czyli, w tym konkretnym przypadku, gdzie założyliśmy, że wysokość jest równa podstawie, podstawa i wysokość trójkąta wynoszą 4√6.
Inne Możliwe Scenariusze
W zadaniach mogą pojawić się inne dane. Na przykład, możemy znać długość ramienia trójkąta, powiedzmy b. Wtedy musimy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, żeby wyznaczyć wysokość.
Wyobraźmy sobie, że mamy trójkąt równoramienny, dzielimy go wysokością na dwie równe części. Otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne. W każdym z tych trójkątów prostokątnych: ramię trójkąta równoramiennego (b) jest przeciwprostokątną, połowa podstawy (a/2) jest jedną przyprostokątną, a wysokość (h) jest drugą przyprostokątną.
Zatem, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa: (a/2)2 + h2 = b2.
Jeśli znamy pole (48) i długość ramienia (b), możemy rozwiązać układ równań i wyznaczyć a i h.
Zacznijmy od wzoru na pole: (1/2) * a * h = 48, czyli a * h = 96. Z tego wynika, że h = 96/a.
Teraz podstawiamy to do równania z twierdzenia Pitagorasa: (a/2)2 + (96/a)2 = b2.
Uproszczamy: a2/4 + 9216/a2 = b2.
Mnożymy wszystko przez 4a2: a4 + 36864 = 4b2a2.
Przenosimy wszystko na jedną stronę: a4 - 4b2a2 + 36864 = 0.
Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe. Możemy podstawić x = a2 i rozwiązać równanie kwadratowe: x2 - 4b2x + 36864 = 0.
Po rozwiązaniu równania kwadratowego, otrzymamy wartość x, czyli a2. Potem obliczamy a (pamiętając, że długość musi być dodatnia), a następnie h z równania h = 96/a.
Przykładowe Zadanie z Zastosowaniem Twierdzenia Pitagorasa
Załóżmy, że pole trójkąta równoramiennego wynosi 48, a długość ramienia to 10. Oblicz długość podstawy i wysokość.
Mamy: P = 48 i b = 10.
Równanie dwukwadratowe, które wyprowadziliśmy wcześniej: a4 - 4b2a2 + 36864 = 0. Podstawiamy b = 10.
Otrzymujemy: a4 - 400a2 + 36864 = 0. Podstawiamy x = a2.
Mamy: x2 - 400x + 36864 = 0.
Rozwiązujemy równanie kwadratowe (można użyć wzoru na deltę):
Delta = (-400)^2 - 4 * 1 * 36864 = 160000 - 147456 = 12544
Pierwiastek z delty = sqrt(12544) = 112
x1 = (400 + 112) / 2 = 256
x2 = (400 - 112) / 2 = 144
Czyli: a2 = 256 lub a2 = 144.
Stąd: a = 16 lub a = 12.
Jeśli a = 16, to h = 96/16 = 6.
Jeśli a = 12, to h = 96/12 = 8.
Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa dla obu przypadków:
Przypadek 1: (16/2)^2 + 6^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2
Przypadek 2: (12/2)^2 + 8^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2
Oba rozwiązania są poprawne!
Podsumowanie
Pamiętaj! Trójkąt równoramienny ma dwa równe boki i równe kąty przy podstawie.
Wzór na pole trójkąta: P = (1/2) * a * h.
Twierdzenie Pitagorasa jest bardzo przydatne przy obliczaniu wysokości w trójkącie równoramiennym: a2 + b2 = c2.
Czytaj uważnie treść zadania! Szukaj dodatkowych informacji, które pomogą Ci rozwiązać problem.
Nie bój się podstawiać danych do wzorów i upraszczać wyrażeń.
Pamiętaj o jednostkach!
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
