Dzisiaj zajmiemy się obliczaniem pola kwadratu mając daną długość jego przekątnej. To bardzo przydatna umiejętność w geometrii!
Zacznijmy od definicji. Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste (90 stopni). Przekątna kwadratu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki.
Związek między bokiem a przekątną kwadratu
Istnieje ścisły związek między długością boku kwadratu (oznaczmy go jako a) a długością jego przekątnej (oznaczmy ją jako d). Ten związek wynika z twierdzenia Pitagorasa.
Wyobraźmy sobie kwadrat. Przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Boki kwadratu są przyprostokątnymi tych trójkątów, a przekątna jest przeciwprostokątną. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, mamy: a2 + a2 = d2.
Upraszczając to równanie, otrzymujemy: 2a2 = d2. Możemy wyznaczyć długość boku kwadratu, jeśli znamy długość przekątnej: a = √(d2/2), co można uprościć do a = (d√2)/2.
Wzór na pole kwadratu z przekątnej
Wiemy, że pole kwadratu (oznaczmy je jako P) oblicza się mnożąc długość boku przez samą siebie: P = a2. Ale my chcemy wyrazić pole za pomocą przekątnej.
Skoro wiemy, że 2a2 = d2, a P = a2, możemy podstawić P do pierwszego równania. Zatem 2P = d2. Dzieląc obie strony przez 2, otrzymujemy wzór na pole kwadratu znając jego przekątną: P = d2/2.
To jest nasz wzór: Pole kwadratu jest równe kwadratowi długości przekątnej podzielonemu przez 2. Zapamiętajmy to!
Przykłady obliczeń
Zobaczmy, jak ten wzór działa w praktyce. Załóżmy, że przekątna kwadratu ma długość 6 cm. Chcemy obliczyć pole tego kwadratu.
Używamy wzoru: P = d2/2. Podstawiamy d = 6 cm: P = 62/2 = 36/2 = 18 cm2. Zatem pole kwadratu wynosi 18 cm2.
Inny przykład: Przekątna kwadratu ma długość 10 cm. Obliczamy pole: P = 102/2 = 100/2 = 50 cm2. Pole wynosi 50 cm2.
Jeszcze jeden przykład: Jeżeli przekątna kwadratu wynosi √8 cm, to pole wynosi: P = (√8)2 / 2 = 8/2 = 4 cm2. Czyli pole to 4 cm2.
Praktyczne zastosowania
Obliczanie pola kwadratu znając jego przekątną ma wiele praktycznych zastosowań. Może być przydatne w budownictwie, architekturze i projektowaniu.
Na przykład, architekt projektuje pokój o kształcie kwadratu i zna długość przekątnej podłogi. Może szybko obliczyć powierzchnię podłogi, aby zamówić odpowiednią ilość materiałów. Inżynier budowlany może potrzebować obliczyć powierzchnię przekroju poprzecznego elementu o kształcie kwadratu, znając jego przekątną.
W projektowaniu graficznym, jeśli mamy obraz kwadratowy i znamy tylko długość jego przekątnej na ekranie, możemy obliczyć jego powierzchnię w pikselach. To jest przydatne do skalowania i układania elementów graficznych.
Podsumowanie
Nauczyliśmy się, jak obliczyć pole kwadratu znając długość jego przekątnej. Kluczowy wzór to: P = d2/2. Pamiętajmy o twierdzeniu Pitagorasa, które leży u podstaw tego wzoru. Zastosowanie tego wzoru jest proste i może być bardzo przydatne w wielu sytuacjach. Mamy teraz nowe narzędzie do rozwiązywania problemów geometrycznych! Ćwiczmy na różnych przykładach, aby dobrze opanować tę umiejętność. Powodzenia!
