Witajcie, przyszli mistrzowie geometrii!
Dziś zajmiemy się ostrosłupami. A dokładniej, ostrosłupami o identycznych podstawach.
Bądźcie gotowi, bo czeka nas fascynująca podróż!
Podstawowe Definicje
Zacznijmy od podstaw, dosłownie i w przenośni.
Ostrosłup to bryła, której podstawą jest wielokąt.
Ściany boczne ostrosłupa to trójkąty.
Wszystkie ściany boczne zbiegają się w jednym punkcie, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.
Rodzaje Ostrosłupów
Mamy różne rodzaje ostrosłupów. Ważne jest, aby je rozróżniać.
Ostrosłup prosty: Jego wierzchołek leży dokładnie nad środkiem podstawy.
Ostrosłup pochyły: Jego wierzchołek nie leży nad środkiem podstawy.
Ostrosłup prawidłowy: To ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym (np. kwadrat, trójkąt równoboczny).
Dwa Ostrosłupy o Takich Samych Podstawach
Teraz przejdźmy do sedna sprawy. Co się dzieje, gdy mamy dwa ostrosłupy, które mają identyczne podstawy?
Wyobraźcie sobie dwa ostrosłupy.
Oba mają ten sam wielokąt jako podstawę. Może to być kwadrat, pięciokąt, cokolwiek!
Ale co z resztą? Wysokość i położenie wierzchołka mogą się różnić.
Porównywanie Objętości
Kluczową rzeczą, którą musimy zrozumieć, jest objętość.
Wzór na objętość ostrosłupa to: V = (1/3) * Pp * H
Gdzie: V to objętość, Pp to pole podstawy, a H to wysokość ostrosłupa.
Jeśli dwa ostrosłupy mają taką samą podstawę, to ich pola podstaw (Pp) są identyczne.
W takim przypadku, objętość zależy wyłącznie od wysokości (H).
Jeśli wysokości są równe, to objętości obu ostrosłupów też są równe!
A co, jeśli wysokości są różne?
Wtedy ostrosłup o większej wysokości ma większą objętość.
Przykłady
Wyobraźmy sobie dwa ostrosłupy.
Oba mają w podstawie kwadrat o boku 5 cm. Wysokość pierwszego ostrosłupa to 8 cm, a drugiego to 10 cm.
Pole podstawy w obu przypadkach to 5 cm * 5 cm = 25 cm².
Objętość pierwszego ostrosłupa: (1/3) * 25 cm² * 8 cm = 66.67 cm³ (w przybliżeniu).
Objętość drugiego ostrosłupa: (1/3) * 25 cm² * 10 cm = 83.33 cm³ (w przybliżeniu).
Widzimy, że ostrosłup o większej wysokości ma większą objętość.
Zadania i Ćwiczenia
Spróbujmy rozwiązać kilka zadań. To pomoże utrwalić wiedzę.
Zadanie 1: Dwa ostrosłupy mają identyczne podstawy - trójkąt równoboczny o boku 6 cm. Wysokość pierwszego ostrosłupa wynosi 4 cm, a drugiego 6 cm. Który ostrosłup ma większą objętość i ile wynosi różnica ich objętości?
Rozwiązanie: Pole trójkąta równobocznego to (a²√3)/4, czyli (6²√3)/4 = 9√3 cm². Objętość pierwszego ostrosłupa to (1/3) * 9√3 * 4 = 12√3 cm³. Objętość drugiego ostrosłupa to (1/3) * 9√3 * 6 = 18√3 cm³. Drugi ostrosłup ma większą objętość. Różnica objętości wynosi 18√3 - 12√3 = 6√3 cm³.
Zadanie 2: Dwa ostrosłupy mają identyczne podstawy w kształcie pięciokąta. Wiemy, że pola ich podstaw są równe 30 cm². Jeden z ostrosłupów ma objętość 50 cm³. Ile wynosi wysokość drugiego ostrosłupa, jeśli jego objętość jest równa 60 cm³?
Rozwiązanie: Znamy wzór V = (1/3) * Pp * H. Dla pierwszego ostrosłupa: 50 = (1/3) * 30 * H1, więc H1 = 5 cm. Dla drugiego ostrosłupa: 60 = (1/3) * 30 * H2, więc H2 = 6 cm. Wysokość drugiego ostrosłupa wynosi 6 cm.
Kluczowe Wnioski
Podsumujmy najważniejsze punkty.
Identyczne podstawy: Jeśli dwa ostrosłupy mają takie same podstawy, to ich pola podstaw są równe.
Objętość: Objętość ostrosłupa zależy od pola podstawy i wysokości. V = (1/3) * Pp * H.
Wysokość: Przy jednakowych podstawach, ostrosłup o większej wysokości ma większą objętość.
Pamiętajcie, geometria to przede wszystkim wyobraźnia i logiczne myślenie.
Powodzenia na egzaminie!
