Witaj w świecie matematyki licealnej! Zajmiemy się podręcznikiem do matematyki dla klasy 1. Skupimy się na tym, jak wizualnie zrozumieć zagadnienia.
Zbiory i Działania na Zbiorach
Wyobraź sobie zbiór jako pudełko. W tym pudełku są różne rzeczy. To są elementy zbioru.
Zbiór A to pudełko z jabłkami. Zbiór B to pudełko z gruszkami.
Suma zbiorów (A ∪ B)
Suma to jakby połączyć zawartość obu pudełek do jednego dużego pudełka. Wszystkie jabłka i gruszki razem.
Pomyśl o przyjęciu. A to goście z klasy 1a, B to goście z klasy 1b. Suma to wszyscy goście na przyjęciu!
Narysuj dwa nachodzące na siebie koła. Jedno oznacz jako A, drugie jako B. Część wspólną zacieniuj. To jest suma zbiorów, czyli wszystko co jest w A, wszystko co jest w B i wszystko co jest w ich części wspólnej.
Iloczyn zbiorów (A ∩ B)
Iloczyn to tylko te elementy, które są w obu pudełkach jednocześnie. Jabłka i gruszki, które jakimś cudem są i w pudełku A i w pudełku B.
Wyobraź sobie, że w obu klasach (1a i 1b) są osoby, które lubią matematykę. Iloczyn to te osoby, które są i w 1a i w 1b i lubią matematykę.
Ponownie narysuj dwa nachodzące na siebie koła (A i B). Zacieniuj tylko tę część, gdzie koła się przecinają. To jest iloczyn zbiorów – elementy wspólne.
Różnica zbiorów (A \ B)
Różnica to elementy, które są w pierwszym pudełku (A), ale nie ma ich w drugim (B). Jabłka, których nie ma w pudełku z gruszkami.
Pomyśl o uczniach w klasie 1a, którzy nie chodzą na kółko matematyczne. A to uczniowie 1a, B to uczestnicy kółka. Różnica to ci uczniowie z 1a, którzy nie należą do kółka.
Narysuj koło A i koło B nachodzące na siebie. Zacieniuj tylko tę część koła A, która nie jest częścią koła B. To jest różnica zbiorów.
Dopełnienie zbioru (A')
Dopełnienie to wszystko, co nie jest w danym zbiorze, ale należy do większej całości (przestrzeni). Wyobraź sobie, że wszystkie owoce to przestrzeń. A to jabłka. Dopełnienie A to wszystkie owoce, które nie są jabłkami (gruszki, banany, etc.).
Wyobraź sobie klasę. A to dziewczyny. Dopełnienie A to chłopcy.
Narysuj prostokąt (przestrzeń). Wewnątrz narysuj koło (A). Zacieniuj wszystko poza kołem. To jest dopełnienie zbioru A.
Logika
Logika to nauka o poprawnym rozumowaniu. Używa zdań, które mogą być prawdziwe albo fałszywe.
Zdania proste i złożone
Zdanie proste: "Dziś pada deszcz." Może być prawdziwe, albo fałszywe.
Zdanie złożone: "Dziś pada deszcz i świeci słońce." Składa się z dwóch zdań prostych połączonych spójnikiem.
Koniunkcja (∧)
Koniunkcja to "i". Zdanie "P i Q" jest prawdziwe tylko wtedy, gdy P jest prawdziwe i Q jest prawdziwe.
Wyobraź sobie, że musisz dostać dwie nagrody: za wiedzę i za sport. Dostaniesz główną nagrodę tylko wtedy, gdy zdobędziesz obie nagrody.
Zrób tabelkę. W pierwszym rzędzie P, w drugim Q, w trzecim P ∧ Q. Wypisz kombinacje: Prawda Prawda, Prawda Fałsz, Fałsz Prawda, Fałsz Fałsz. P ∧ Q jest prawdziwe tylko, gdy i P i Q są prawdziwe.
Alternatywa (∨)
Alternatywa to "lub". Zdanie "P lub Q" jest prawdziwe, gdy przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe.
Wyobraź sobie, że możesz wybrać: zjesz jabłko lub gruszkę. Będziesz zadowolony, jeśli zjesz jabłko, jeśli zjesz gruszkę, a nawet jeśli zjesz oba owoce!
Zrób tabelkę, jak poprzednio. P ∨ Q jest prawdziwe we wszystkich przypadkach oprócz jednego: gdy i P i Q są fałszywe.
Implikacja (⇒)
Implikacja to "jeśli... to...". Zdanie "Jeśli P, to Q" jest fałszywe tylko wtedy, gdy P jest prawdziwe, a Q jest fałszywe.
Wyobraź sobie obietnicę: "Jeśli będziesz się uczył, to dostaniesz dobrą ocenę." Obietnica jest złamana tylko wtedy, gdy się uczysz, a nie dostajesz dobrej oceny.
Zrób tabelkę. P ⇒ Q jest fałszywe tylko, gdy P jest prawdziwe, a Q jest fałszywe. We wszystkich innych przypadkach jest prawdziwe.
Równoważność (⇔)
Równoważność to "wtedy i tylko wtedy, gdy". Zdanie "P wtedy i tylko wtedy, gdy Q" jest prawdziwe, gdy P i Q mają tę samą wartość logiczną (oba są prawdziwe albo oba są fałszywe).
Wyobraź sobie, że dostaniesz prezent, tylko jeśli skończysz wszystkie zadania. Nie dostaniesz prezentu, jeśli nie skończysz wszystkich zadań. Działa to w obie strony.
Zrób tabelkę. P ⇔ Q jest prawdziwe, gdy i P i Q są prawdziwe, albo i P i Q są fałszywe. Jest fałszywe, gdy mają różne wartości.
Funkcje
Funkcja to takie "pudełko", do którego wrzucasz coś (argument), a ono robi z tym coś i wyrzuca coś innego (wartość).
Wyobraź sobie maszynkę do mielenia mięsa. Wrzucasz mięso (argument), a wychodzi zmielone mięso (wartość).
f(x) = x + 2. Wrzucasz liczbę x, dodajesz do niej 2 i to jest wynik.
Narysuj dwa owale. Jeden oznacz jako "argumenty", drugi jako "wartości". Narysuj strzałki od argumentów do wartości. Każdy argument musi mieć dokładnie jedną strzałkę.
Wykres funkcji
Wykres funkcji to wizualne przedstawienie, jak funkcja zmienia wartości. Oś x to argumenty, oś y to wartości funkcji.
Wyobraź sobie, że jedziesz rowerem. Oś x to czas, oś y to przebyta odległość. Wykres pokazuje, jak zmienia się twoja odległość w czasie.
Narysuj układ współrzędnych. Zaznacz kilka punktów, obliczając wartości funkcji dla różnych argumentów. Połącz punkty, żeby zobaczyć kształt wykresu.
Pamiętaj, matematyka może być fascynująca, jeśli znajdziesz sposób, żeby ją zobaczyć!
