Hej! Gotowi na powtórkę z geometrii analitycznej? Skupimy się na prostych.
Równania prostych - przypomnienie
Na początek, przypomnijmy sobie podstawy. Mamy różne sposoby na opisanie prostej.
Postać kierunkowa prostej
Najpopularniejsza to postać kierunkowa: y = ax + b.
a to współczynnik kierunkowy. Mówi nam, jak stroma jest prosta.
b to wyraz wolny. Pokazuje, gdzie prosta przecina oś Y.
Postać ogólna prostej
Mamy też postać ogólną: Ax + By + C = 0.
A, B i C to liczby rzeczywiste. Z tej postaci łatwo odczytać wektor normalny.
Postać odcinkowa prostej
I postać odcinkowa: x/p + y/q = 1.
p i q to punkty przecięcia prostej z osiami X i Y, odpowiednio.
Proste równoległe
Dwie proste są równoległe, gdy mają taki sam kierunek.
Współczynniki kierunkowe
Czyli ich współczynniki kierunkowe są równe. Jeśli mamy proste y = a1x + b1 i y = a2x + b2, to a1 = a2.
Znajdowanie prostej równoległej
Chcesz znaleźć prostą równoległą do danej prostej i przechodzącą przez dany punkt?
1. Odczytaj współczynnik kierunkowy danej prostej. To będzie Twój "a".
2. Użyj wzoru na prostą przechodzącą przez punkt: y - y0 = a(x - x0). (x0, y0) to współrzędne Twojego punktu.
3. Przekształć równanie do pożądanej postaci (np. kierunkowej lub ogólnej).
Przykład: Znajdź prostą równoległą do y = 2x + 3 i przechodzącą przez punkt (1, 4).
1. Współczynnik kierunkowy danej prostej to 2.
2. Podstawiamy do wzoru: y - 4 = 2(x - 1).
3. Przekształcamy: y = 2x + 2.
Proste prostopadłe
Dwie proste są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym (90 stopni).
Współczynniki kierunkowe
Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek: a1 * a2 = -1.
Innymi słowy, a2 = -1/a1. Mówimy, że współczynnik a2 jest odwrotnością ze zmienionym znakiem.
Znajdowanie prostej prostopadłej
Chcesz znaleźć prostą prostopadłą do danej prostej i przechodzącą przez dany punkt?
1. Odczytaj współczynnik kierunkowy danej prostej. Nazwijmy go a1.
2. Oblicz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: a2 = -1/a1.
3. Użyj wzoru na prostą przechodzącą przez punkt: y - y0 = a2(x - x0). (x0, y0) to współrzędne Twojego punktu.
4. Przekształć równanie do pożądanej postaci.
Przykład: Znajdź prostą prostopadłą do y = (1/3)x - 1 i przechodzącą przez punkt (2, -1).
1. Współczynnik kierunkowy danej prostej to 1/3.
2. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to -1 / (1/3) = -3.
3. Podstawiamy do wzoru: y - (-1) = -3(x - 2).
4. Przekształcamy: y = -3x + 5.
Postać ogólna - prostopadłość i równoległość
Co jeśli mamy postać ogólną? Ax + By + C = 0.
Równoległość
Prosta A1x + B1y + C1 = 0 jest równoległa do A2x + B2y + C2 = 0, gdy A1/A2 = B1/B2.
Prostopadłość
Prosta A1x + B1y + C1 = 0 jest prostopadła do A2x + B2y + C2 = 0, gdy A1A2 + B1B2 = 0.
Podsumowanie
Zapamiętaj kluczowe punkty:
- Proste równoległe: równe współczynniki kierunkowe (a1 = a2).
- Proste prostopadłe: współczynniki kierunkowe odwrotne ze zmienionym znakiem (a1 * a2 = -1).
- Wzór na prostą przechodzącą przez punkt: y - y0 = a(x - x0).
- Postać ogólna: użyj odpowiednich warunków na równoległość i prostopadłość.
Powodzenia na egzaminie! Ćwicz, ćwicz i jeszcze raz ćwicz! Dasz radę!
