Położenie Kulki Względem Sześcianu - Twój Przewodnik
Hej! Przygotuj się na powtórkę z geometrii przestrzennej. Razem przeanalizujemy, jak opisać położenie kulki względem sześcianu. To kluczowe zagadnienie, które często pojawia się na egzaminach!
Podstawowe Definicje
Zacznijmy od podstaw. Co to jest sześcian? To graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie ściany są kwadratami.
A kula? To zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, które są w równej odległości od jednego punktu – środka kuli.
Pamiętaj o promieniu kuli – to odległość od środka do dowolnego punktu na jej powierzchni.
Położenia Względne – Ogólny Zarys
Jak kula może znajdować się względem sześcianu? Może być:
- Całkowicie na zewnątrz sześcianu.
- Dotykać sześcianu (zewnętrznie styczna).
- Częściowo w sześcianie i częściowo na zewnątrz.
- Całkowicie wewnątrz sześcianu.
- Wpisana w sześcian.
Omówimy te przypadki szczegółowo!
Kula Całkowicie Na Zewnątrz Sześcianu
To najprostszy przypadek. Odległość od środka kuli do każdej ściany sześcianu jest większa niż promień kuli.
Wyobraź sobie sześcian i bardzo małą kulkę daleko od niego. Kropka!
Kula Dotyka Sześcianu (Styczna Zewnętrznie)
W tym przypadku, kula dotyka sześcianu w jednym punkcie (lub więcej). Odległość od środka kuli do najbliższej ściany sześcianu jest równa promieniowi kuli.
Może dotykać ściany, krawędzi lub wierzchołka sześcianu.
Kula Częściowo W Sześcianie i Częściowo Na Zewnątrz
Tutaj zaczyna się robić ciekawiej! Część kuli znajduje się wewnątrz sześcianu, a część na zewnątrz.
Oznacza to, że odległość od środka kuli do niektórych ścian sześcianu jest mniejsza niż promień, a do innych – większa.
Wyobraź sobie, że kula jest "wbita" w sześcian.
Kula Całkowicie Wewnątrz Sześcianu
Kula znajduje się w całości wewnątrz sześcianu. Odległość od środka kuli do każdej ściany sześcianu jest większa niż promień kuli.
Może być blisko środka sześcianu, albo "przyklejona" do jednej ze ścian (ale nadal wewnątrz!).
Kula Wpisana W Sześcian
To szczególny przypadek, gdzie kula znajduje się wewnątrz sześcianu i dotyka każdej ściany sześcianu w jej środku.
W tym przypadku, średnica kuli jest równa długości krawędzi sześcianu. Czyli promień kuli jest połową długości krawędzi sześcianu.
To bardzo ważny przypadek! Często pojawia się w zadaniach.
Opisywanie Położenia – Współrzędne i Odległości
Aby dokładnie opisać położenie kuli względem sześcianu, potrzebujemy:
- Współrzędnych środka kuli: (x, y, z) w układzie współrzędnych, w którym sześcian jest umieszczony.
- Promienia kuli: r.
- Długości krawędzi sześcianu: a.
Następnie, możemy obliczyć odległości od środka kuli do ścian sześcianu. Porównując te odległości z promieniem kuli, możemy określić, w jakiej relacji znajduje się kula względem sześcianu.
Na przykład, jeśli odległość od środka kuli do ściany jest mniejsza niż promień, to kula przecina tę ścianę.
Przykładowe Zadanie
Załóżmy, że mamy sześcian o krawędzi a = 4. Środek kuli ma współrzędne (2, 2, 2), a promień kuli wynosi r = 1.
Ponieważ środek kuli znajduje się w punkcie (2, 2, 2), czyli dokładnie w środku sześcianu, a promień r = 1 jest mniejszy niż połowa długości krawędzi sześcianu (która wynosi 2), możemy stwierdzić, że kula jest w całości wewnątrz sześcianu.
A teraz wyobraź sobie, że promień kuli wynosi r = 2. Wtedy kula jest wpisana w sześcian, ponieważ dotyka każdej ściany.
Kluczowe Punkty
- Zrozum definicje sześcianu i kuli.
- Poznaj różne możliwe położenia kuli względem sześcianu.
- Umiejętność obliczania odległości od środka kuli do ścian sześcianu.
- Wykorzystaj współrzędne, promień i długość krawędzi sześcianu do opisu położenia.
- Pamiętaj o szczególnym przypadku kuli wpisanej w sześcian.
Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza. Rozwiąż jak najwięcej zadań i nie bój się pytać!
