Witajcie! Przygotowujemy się do sprawdzianu z okręgów wpisanych i opisanych. Damy radę!
Okrąg Wpisany w Trójkąt
Okrąg wpisany w trójkąt to taki okrąg, który jest styczny do każdego boku trójkąta. Co to oznacza?
Styczność oznacza, że okrąg dotyka każdego boku w dokładnie jednym punkcie. Ważne!
Środek Okręgu Wpisanego
Gdzie znajduje się środek okręgu wpisanego? To punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta. Pamiętaj o tym.
Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwie równe części. Proste, prawda?
Oznaczmy środek okręgu wpisanego jako I.
Promień Okręgu Wpisanego
Jak obliczyć promień okręgu wpisanego (r)? Mamy na to wzór!
r = P / p, gdzie P to pole trójkąta, a p to połowa obwodu trójkąta.
p = (a + b + c) / 2, gdzie a, b, c to długości boków trójkąta. Zapamiętaj!
Przykład? Trójkąt o bokach 3, 4, 5. Jest to trójkąt prostokątny.
P = (3 * 4) / 2 = 6. p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6. Zatem r = 6 / 6 = 1.
Okrąg Opisany na Trójkącie
Okrąg opisany na trójkącie to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta. Inaczej mówiąc, trójkąt jest wpisany w okrąg.
Wszystkie trzy wierzchołki muszą dotykać okręgu. Inaczej nie jest to okrąg opisany!
Środek Okręgu Opisanego
Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta. Ważne pojęcie.
Symetralna boku to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Pamiętaj!
Oznaczmy środek okręgu opisanego jako O.
Promień Okręgu Opisanego
Jak obliczyć promień okręgu opisanego (R)? Mamy kilka możliwości.
R = (a * b * c) / (4 * P), gdzie a, b, c to długości boków trójkąta, a P to pole trójkąta.
Dla trójkąta prostokątnego, promień okręgu opisanego jest równy połowie długości przeciwprostokątnej. Bardzo przydatne!
Przykład? Nadal trójkąt o bokach 3, 4, 5. P = 6. R = (3 * 4 * 5) / (4 * 6) = 60 / 24 = 2.5. Zgadza się, połowa przeciwprostokątnej (5).
Okręgi Wpisane i Opisane na Czworokątach
Nie każdy czworokąt da się wpisać w okrąg albo opisać na nim okrąg. Jak to sprawdzić?
Czworokąt Wpisany w Okrąg
Czworokąt można wpisać w okrąg, jeśli suma miar przeciwległych kątów wynosi 180 stopni. Sprawdź, czy to prawda.
α + γ = 180° i β + δ = 180°, gdzie α, β, γ, δ to kąty czworokąta.
Czworokąt Opisany na Okręgu
Czworokąt można opisać na okręgu, jeśli sumy długości przeciwległych boków są równe. Proste, prawda?
a + c = b + d, gdzie a, b, c, d to długości boków czworokąta.
Wzory - Powtórka
Podsumujmy najważniejsze wzory:
- Promień okręgu wpisanego w trójkąt: r = P / p
- Połowa obwodu trójkąta: p = (a + b + c) / 2
- Promień okręgu opisanego na trójkącie: R = (a * b * c) / (4 * P)
- Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym: R = c / 2 (gdzie c to przeciwprostokątna)
Przykładowe Zadania
Spróbuj rozwiązać te zadania:
- Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 6.
- Oblicz promień okręgu opisanego na kwadracie o boku 4.
- Sprawdź, czy można opisać okrąg na czworokącie, którego kąty wynoszą 80°, 100°, 80°, 100°.
Kluczowe Pojęcia - Jeszcze Raz
Upewnij się, że rozumiesz te pojęcia:
- Okrąg wpisany
- Okrąg opisany
- Dwusieczna kąta
- Symetralna boku
Powodzenia!
Dasz radę! Pamiętaj, żeby dokładnie czytać treść zadań i korzystać ze wzorów. Trzymam kciuki!
