Witaj! Przygotowujesz się do egzaminu z geometrii analitycznej? Świetnie! Dzisiaj omówimy odległość punktu od prostej. To ważny temat, ale spokojnie, rozłożymy go na czynniki pierwsze.
Wprowadzenie
Wyobraź sobie punkt i prostą na płaszczyźnie. Pytanie brzmi: jaka jest najkrótsza odległość między nimi?
Ta najkrótsza odległość to odcinek, który łączy punkt z prostą pod kątem prostym. To kluczowe!
Równanie Prostej
Zanim przejdziemy do wzoru, musimy znać równanie prostej. Mamy kilka opcji, ale najczęściej używamy postaci ogólnej:
Ax + By + C = 0
Gdzie A, B i C to liczby. Pamiętaj, że A i B nie mogą być jednocześnie równe zero.
Czasami masz równanie prostej w postaci kierunkowej: y = mx + b. Wtedy musisz przekształcić je do postaci ogólnej.
Przykład: y = 2x + 3 przekształcamy na -2x + y - 3 = 0. Wtedy A = -2, B = 1, C = -3.
Współrzędne Punktu
Potrzebujemy też współrzędnych punktu, którego odległość chcemy obliczyć. Oznaczmy go jako P = (x0, y0).
Wzór na Odległość Punktu od Prostej
Teraz najważniejsze: wzór na odległość punktu P = (x0, y0) od prostej Ax + By + C = 0:
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A2 + B2)
Zwróć uwagę na wartość bezwzględną |...|. Odległość zawsze musi być dodatnia!
√(A2 + B2) to długość wektora normalnego do prostej.
Krok po Kroku: Obliczanie Odległości
1. Sprawdź, czy masz równanie prostej w postaci ogólnej: Ax + By + C = 0.
2. Zidentyfikuj współczynniki A, B i C.
3. Określ współrzędne punktu P = (x0, y0).
4. Podstaw wartości A, B, C, x0 i y0 do wzoru.
5. Oblicz wartość wyrażenia.
6. Pamiętaj o wartości bezwzględnej!
Przykłady
Przykład 1: Oblicz odległość punktu P = (2, 3) od prostej 3x + 4y - 7 = 0.
A = 3, B = 4, C = -7, x0 = 2, y0 = 3.
d = |3 * 2 + 4 * 3 - 7| / √(32 + 42) = |6 + 12 - 7| / √(9 + 16) = |11| / √25 = 11 / 5.
Odległość wynosi 11/5.
Przykład 2: Oblicz odległość punktu P = (-1, 1) od prostej y = x + 2.
Najpierw przekształcamy równanie prostej do postaci ogólnej: -x + y - 2 = 0.
A = -1, B = 1, C = -2, x0 = -1, y0 = 1.
d = |-1 * (-1) + 1 * 1 - 2| / √((-1)2 + 12) = |1 + 1 - 2| / √(1 + 1) = |0| / √2 = 0.
Odległość wynosi 0. To oznacza, że punkt leży na prostej!
Wskazówki i Triki
Upewnij się, że równanie prostej jest w postaci ogólnej. To najczęstszy błąd.
Pamiętaj o wartości bezwzględnej. Odległość nigdy nie jest ujemna.
Sprawdź swoje obliczenia, zwłaszcza przy podstawianiu do wzoru. Mały błąd może dać zły wynik.
Jeśli odległość wychodzi 0, to znaczy, że punkt leży na prostej.
Zadania Dodatkowe
Spróbuj rozwiązać te zadania, aby utrwalić wiedzę:
1. Oblicz odległość punktu (4, -2) od prostej x - 2y + 1 = 0.
2. Oblicz odległość punktu (0, 0) (początek układu współrzędnych) od prostej 5x + 12y - 13 = 0.
3. Oblicz odległość punktu (-3, 5) od prostej y = -3x + 4.
Podsumowanie
Podsumujmy najważniejsze punkty:
- Odległość punktu od prostej to najkrótszy odcinek łączący punkt z prostą pod kątem prostym.
- Równanie prostej musi być w postaci ogólnej: Ax + By + C = 0.
- Wzór na odległość: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A2 + B2).
- Pamiętaj o wartości bezwzględnej.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie. Pamiętaj, praktyka czyni mistrza! Im więcej zadań rozwiążesz, tym pewniej poczujesz się z tym tematem.
