Witaj! Przygotuj się na egzamin z analizy wykresów funkcji. To nic trudnego, pokażę Ci, jak to zrobić krok po kroku. Zaczynamy!
Dziedzina i Zbiór Wartości
Dziedzina funkcji (domain) to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona.
Patrz na oś x!
Zbiór wartości funkcji (range) to zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje.
Patrz na oś y!
Jak to znaleźć na wykresie?
Spójrz na wykres funkcji.
Znajdź najmniejszą i największą wartość x, dla której wykres istnieje. To granice dziedziny.
Znajdź najmniejszą i największą wartość y, jaką przyjmuje wykres. To granice zbioru wartości.
Pamiętaj o nawiasach: ( ) dla wartości nie należących, [ ] dla wartości należących.
Przykład: Dziedzina: [-2, 5), Zbiór wartości: (-3, 4].
Miejsca Zerowe
Miejsce zerowe (zero point) to taki argument x, dla którego wartość funkcji f(x) jest równa zero.
Czyli punkt, w którym wykres przecina oś x.
Jak to znaleźć na wykresie?
Szukaj punktów przecięcia wykresu z osią x.
Odczytaj współrzędne x tych punktów. To są miejsca zerowe.
Przykład: Miejsca zerowe: -1, 2, 4.
Przedziały Monotoniczności
Przedziały monotoniczności (monotonic intervals) to przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.
Jak to znaleźć na wykresie?
Rosnąca: Wykres idzie w górę, patrząc od lewej do prawej.
Malejąca: Wykres idzie w dół, patrząc od lewej do prawej.
Stała: Wykres jest linią poziomą.
Określ przedziały na osi x, dla których funkcja ma daną monotoniczność.
Przykład: Rosnąca: (-∞, 1], Malejąca: [1, 3], Stała: [3, +∞).
Ekstrema Lokalna
Ekstrema lokalne (local extrema) to punkty, w których funkcja osiąga maksimum lub minimum lokalne.
Maksimum lokalne: Funkcja najpierw rośnie, a potem maleje.
Minimum lokalne: Funkcja najpierw maleje, a potem rośnie.
Jak to znaleźć na wykresie?
Szukaj "górek" (maksima) i "dołków" (minima) na wykresie.
Odczytaj współrzędne x tych punktów. To są argumenty, dla których funkcja osiąga ekstrema.
Odczytaj współrzędne y tych punktów. To są wartości ekstremalne.
Przykład: Maksimum lokalne: x = 2, f(2) = 5. Minimum lokalne: x = -1, f(-1) = -2.
Wartości Dodatnie i Ujemne
Wartości dodatnie: Funkcja przyjmuje wartości większe od zera (wykres nad osią x).
Wartości ujemne: Funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera (wykres pod osią x).
Jak to znaleźć na wykresie?
Spójrz, gdzie wykres leży nad osią x (wartości dodatnie) i pod osią x (wartości ujemne).
Określ przedziały na osi x, dla których funkcja ma dane wartości.
Pamiętaj, że miejsca zerowe nie należą do tych przedziałów.
Przykład: Wartości dodatnie: (-∞, -2) ∪ (1, 3). Wartości ujemne: (-2, 1) ∪ (3, +∞).
Punkt Przecięcia z osią OY
Punkt przecięcia z osią OY (y-intercept) to punkt, w którym wykres przecina oś y.
To wartość funkcji dla x = 0.
Jak to znaleźć na wykresie?
Szukaj punktu, w którym wykres przecina oś y.
Odczytaj współrzędną y tego punktu.
Przykład: Punkt przecięcia z osią OY: (0, 2).
Parzystość i Nieparzystość
Funkcja parzysta: f(-x) = f(x). Wykres symetryczny względem osi y.
Funkcja nieparzysta: f(-x) = -f(x). Wykres symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Jak to sprawdzić na wykresie?
Sprawdź, czy wykres jest symetryczny względem osi y (parzysta) lub początku układu współrzędnych (nieparzysta).
Jeśli nie widać żadnej symetrii, funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Podsumowanie
Pamiętaj:
- Dziedzina - patrz na oś x.
- Zbiór wartości - patrz na oś y.
- Miejsca zerowe - punkty przecięcia z osią x.
- Monotoniczność - rosnąca, malejąca, stała.
- Ekstrema - górki i dołki.
- Wartości dodatnie/ujemne - nad/pod osią x.
- Przecięcie z OY - gdzie wykres przecina oś y.
- Parzystość/nieparzystość - symetria.
Powodzenia na egzaminie! Jesteś gotowy!
