Hej ósmoklasisto! Przygotuj się na wizualną podróż po układzie współrzędnych i odcinkach. Zobaczymy, że to wcale nie takie trudne, jak mogłoby się wydawać!
Układ Współrzędnych - Twoja Mapa Skarbów!
Wyobraź sobie, że masz mapę. Ale zamiast gór i rzek, masz dwie linie: poziomą (oś X) i pionową (oś Y). To właśnie one tworzą układ współrzędnych.
Oś X to taka "ulica", po której poruszasz się w prawo (liczby dodatnie) lub w lewo (liczby ujemne). Pomyśl o niej jak o termometrze leżącym na boku.
Oś Y to "aleja", która prowadzi w górę (liczby dodatnie) lub w dół (liczby ujemne). To jak winda w wieżowcu. Im wyżej, tym większa liczba.
Miejsce, gdzie te dwie osie się spotykają, nazywamy początkiem układu współrzędnych. Ma on współrzędne (0, 0). To nasz punkt startowy w poszukiwaniach skarbów!
Każdy punkt na mapie (w układzie współrzędnych) ma swoje "adresy". To jego współrzędne. Zapisujemy je w nawiasie, na przykład (3, 2). Pierwsza liczba to pozycja na osi X, a druga - na osi Y.
Popatrz na punkt (3, 2). Oznacza to, że musisz przejść 3 jednostki w prawo od początku (po osi X) i 2 jednostki w górę (po osi Y).
A punkt (-1, 4)? Idziesz 1 jednostkę w lewo i 4 jednostki w górę. Proste, prawda?
Odcinki - Połączenie Punktów!
Odcinek to po prostu linia prosta łącząca dwa punkty. Wyobraź sobie, że masz dwa skarby na swojej mapie. Odcinek to ścieżka, którą musisz pokonać, żeby przejść od jednego skarbu do drugiego.
Mając punkty A(1, 1) i B(4, 5), możemy narysować odcinek AB. To linia prosta łącząca te dwa punkty.
Długość odcinka to odległość między punktami, które go tworzą. Możemy ją obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa!
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna to nasz odcinek AB. Przyprostokątne trójkąta tworzą różnice współrzędnych x i y.
Czyli, długość odcinka AB to:
√( (xB - xA)2 + (yB - yA)2 )
W naszym przykładzie (A(1, 1) i B(4, 5)):
√( (4 - 1)2 + (5 - 1)2 ) = √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Zatem długość odcinka AB wynosi 5 jednostek.
Zadania z Odcinkami - Praktyka Czyni Mistrza!
Zadanie 1: Rysowanie odcinków.
Narysuj układ współrzędnych. Zaznacz punkty C(-2, 1) i D(3, -2). Narysuj odcinek CD.
Najpierw znajdź punkt C: 2 jednostki w lewo i 1 jednostka w górę od początku układu.
Potem znajdź punkt D: 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół od początku układu.
Teraz połącz te dwa punkty prostą linią. To właśnie odcinek CD.
Zadanie 2: Obliczanie długości odcinka.
Oblicz długość odcinka EF, gdzie E(0, -3) i F(4, 0).
Używamy wzoru:
√( (xF - xE)2 + (yF - yE)2 )
Podstawiamy:
√( (4 - 0)2 + (0 - (-3))2 ) = √(42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
Długość odcinka EF wynosi 5 jednostek.
Zadanie 3: Sprawdzanie, czy punkt należy do odcinka.
Czy punkt G(2, 3) leży na odcinku AH, gdzie A(1, 1) i H(5, 9)?
Tutaj robi się trochę trudniej. Najprościej jest wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A i H. Potem sprawdzić, czy współrzędne punktu G spełniają to równanie.
Możemy też sprawdzić, czy punkty A, G i H są współliniowe, czyli leżą na jednej prostej. Można to zrobić sprawdzając, czy pole trójkąta AGH jest równe zero. Ale to już wyższa szkoła jazdy! Na 8 klasę wystarczy sprawdzić, czy odcinek AG plus odcinek GH daje w sumie odcinek AH.
Długość odcinka AG = √((2-1)² + (3-1)²) = √(1+4) = √5
Długość odcinka GH = √((5-2)² + (9-3)²) = √(9+36) = √45 = 3√5
Długość odcinka AH = √((5-1)² + (9-1)²) = √(16+64) = √80 = 4√5
√5 + 3√5 = 4√5. Zatem punkt G leży na odcinku AH.
Pamiętaj! Układ współrzędnych i odcinki to ważne narzędzia w matematyce. Ćwicz regularnie, a staną się dla Ciebie proste jak bułka z masłem!
