Zacznijmy od podstaw. Czym jest obwód trójkąta? Obwód to suma długości wszystkich boków figury. W przypadku trójkąta, obwód obliczamy dodając do siebie długości jego trzech boków: a + b + c.
Trójkąt prostokątny – definicja
Trójkąt prostokątny to taki trójkąt, który posiada jeden kąt prosty, czyli kąt o mierze 90 stopni. Boki przyległe do kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi (oznaczmy je jako a i b), a bok leżący naprzeciwko kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną (oznaczmy ją jako c). Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem w trójkącie prostokątnym.
W trójkącie prostokątnym obowiązuje słynne twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Możemy to zapisać wzorem: a2 + b2 = c2. To bardzo ważne narzędzie przy rozwiązywaniu zadań z trójkątami prostokątnymi.
Obwód trójkąta prostokątnego
Obwód trójkąta prostokątnego, podobnie jak każdego innego trójkąta, obliczamy sumując długości wszystkich jego boków. Jeśli mamy trójkąt prostokątny ABC, gdzie kąt przy wierzchołku B jest kątem prostym, a boki mają długości a, b (przyprostokątne) i c (przeciwprostokątna), to obwód (O) wyraża się wzorem: O = a + b + c.
W naszym przypadku wiemy, że obwód trójkąta prostokątnego ABC wynosi 36 cm. Zatem: a + b + c = 36 cm. Często zadania tego typu wymagają od nas znalezienia długości boków trójkąta, mając podany obwód i jakieś dodatkowe informacje. Przyjrzyjmy się przykładom.
Przykładowe zadania
Przykład 1
Obwód trójkąta prostokątnego ABC wynosi 36 cm. Jedna z przyprostokątnych ma długość 8 cm (a = 8 cm), a druga przyprostokątna ma długość 12 cm (b = 12 cm). Oblicz długość przeciwprostokątnej (c).
Znamy obwód i długości dwóch boków. Użyjemy wzoru na obwód: a + b + c = 36. Podstawiamy znane wartości: 8 + 12 + c = 36. Upraszczamy: 20 + c = 36. Odejmujemy 20 od obu stron równania: c = 36 - 20. Zatem c = 16 cm. Długość przeciwprostokątnej wynosi 16 cm.
Przykład 2
Obwód trójkąta prostokątnego ABC wynosi 36 cm. Jedna z przyprostokątnych (a) jest o 4 cm krótsza od drugiej przyprostokątnej (b), czyli a = b - 4. Oblicz długości boków trójkąta.
Mamy dwie informacje: a + b + c = 36 oraz a = b - 4. Dodatkowo, wiemy, że a2 + b2 = c2 (twierdzenie Pitagorasa). Zatem musimy rozwiązać układ równań. Z pierwszego równania możemy wyznaczyć c: c = 36 - a - b. Podstawiamy a = b - 4, więc c = 36 - (b - 4) - b = 40 - 2b. Teraz podstawiamy a i c do twierdzenia Pitagorasa: (b - 4)2 + b2 = (40 - 2b)2.
Rozwijamy równanie: b2 - 8b + 16 + b2 = 1600 - 160b + 4b2. Przenosimy wszystko na jedną stronę: 0 = 2b2 - 152b + 1584. Dzielimy przez 2: 0 = b2 - 76b + 792. Rozwiązujemy równanie kwadratowe (np. obliczając deltę i pierwiastki). Delta wynosi Δ = (-76)2 - 4 * 1 * 792 = 5776 - 3168 = 2608. Pierwiastki to b1 = (76 + √2608) / 2 ≈ 64.5 i b2 = (76 - √2608) / 2 ≈ 11.5.
Sprawdźmy, które rozwiązanie jest poprawne. Jeżeli b ≈ 64.5, to a = b - 4 ≈ 60.5, a c = 40 - 2b ≈ -89. Co jest niemozliwe, bo długosc boku nie moze byc ujemna. Zatem wybieramy drugie rozwiązanie: b ≈ 11.5. Wtedy a = b - 4 ≈ 7.5, a c = 40 - 2b ≈ 17. Sprawdzamy warunek obwodu: a + b + c ≈ 7.5 + 11.5 + 17 = 36. Zatem długości boków to a ≈ 7.5 cm, b ≈ 11.5 cm i c ≈ 17 cm.
Praktyczne zastosowania
Znajomość obwodu trójkąta prostokątnego jest przydatna w wielu dziedzinach. W budownictwie może być używana do obliczania ilości materiałów potrzebnych do wykonania konstrukcji. W geodezji pomaga w pomiarach terenowych. W życiu codziennym, możemy użyć jej do obliczenia, ile listwy przypodłogowej potrzebujemy do pokoju o kształcie trójkąta prostokątnego.
Ponadto, zrozumienie zależności między bokami trójkąta prostokątnego (twierdzenie Pitagorasa) i obwodem, rozwija logiczne myślenie i umiejętność rozwiązywania problemów, co jest cenne w wielu aspektach życia.
Zapamiętajmy, że obwód trójkąta prostokątnego to suma długości jego trzech boków: dwóch przyprostokątnych i przeciwprostokątnej. Wiedza ta, w połączeniu z twierdzeniem Pitagorasa, pozwala na rozwiązywanie wielu ciekawych i praktycznych problemów geometrycznych.
