Hej! Dzisiaj zajmiemy się obliczeniami zegarowymi. Może brzmi to skomplikowanie, ale wcale takie nie jest. Rozłożymy to na czynniki pierwsze, abyś wszystko zrozumiał.
Czym są obliczenia zegarowe?
Obliczenia zegarowe, inaczej arytmetyka modularna, to system, w którym liczby "zawijają się" po osiągnięciu pewnej wartości. Wyobraź sobie, że masz zegar. Po 12 godzinach zaczynamy liczyć od początku. To właśnie podstawa obliczeń zegarowych. Używamy reszty z dzielenia przez liczbę, od której zaczynamy "odliczanie".
Moduł to ta liczba, po osiągnięciu której zegar się "resetuje". W zegarze 12-godzinnym modułem jest 12. W obliczeniach zegarowych używamy zapisu "a ≡ b (mod m)", co czytamy "a jest przystające do b modulo m". Oznacza to, że a i b dają taką samą resztę z dzielenia przez m. Zobaczymy to na przykładach.
Przykład 1: Zegar 12-godzinny
Załóżmy, że jest godzina 8:00 rano. Za 5 godzin, która będzie godzina? Normalnie dodalibyśmy 5 do 8 i wyszłoby 13. Ale na zegarze 12-godzinnym nie ma godziny 13! Wtedy właśnie wkraczają obliczenia zegarowe. Liczymy: 8 + 5 = 13. Następnie dzielimy 13 przez 12. Otrzymujemy 1 i resztę 1. Zatem 13 ≡ 1 (mod 12). Za 5 godzin będzie godzina 1:00 po południu.
Przykład 2: Dni tygodnia
Dni tygodnia też działają jak zegar! Mamy 7 dni, więc moduł wynosi 7. Dziś jest środa. Jaki dzień będzie za 10 dni? Środa to powiedzmy dzień 3 (licząc od poniedziałku jako dnia 1). Dodajemy 10 dni: 3 + 10 = 13. Teraz dzielimy 13 przez 7. Otrzymujemy 1 i resztę 6. Zatem 13 ≡ 6 (mod 7). Dzień 6 to sobota. Za 10 dni będzie sobota.
Jak to działa matematycznie?
Matematycznie, a ≡ b (mod m) oznacza, że a - b jest podzielne przez m. Innymi słowy, istnieje taka liczba całkowita k, że a - b = k * m. Spróbujmy to zastosować do przykładu z zegarem: 13 ≡ 1 (mod 12). 13 - 1 = 12. 12 jest podzielne przez 12 (12 = 1 * 12). Zgadza się!
Ważne jest, aby pamiętać, że przy obliczeniach zegarowych operujemy na resztach z dzielenia. To one są kluczowe. Reszta z dzielenia przez m zawsze będzie liczbą z zakresu od 0 do m - 1.
Zastosowania obliczeń zegarowych
Obliczenia zegarowe mają wiele zastosowań. Są wykorzystywane w kryptografii, czyli w szyfrowaniu wiadomości. Wykorzystuje się je także w informatyce, np. w algorytmach sprawdzających poprawność numerów ISBN czy PESEL. Można je znaleźć również w teorii liczb.
Jednym z bardziej znanych przykładów zastosowania w kryptografii jest algorytm RSA, który opiera się na własnościach liczb pierwszych i arytmetyki modularnej. Bez obliczeń zegarowych bezpieczna komunikacja w Internecie byłaby o wiele trudniejsza.
Przykład: Sprawdzanie numeru ISBN
Numer ISBN (International Standard Book Number) jest używany do identyfikacji książek. Jego poprawność można sprawdzić za pomocą obliczeń zegarowych. W starym ISBN-10 obliczamy sumę kontrolną, mnożąc każdą cyfrę przez jej pozycję (od 10 do 1) i biorąc resztę z dzielenia przez 11. Jeśli reszta wynosi 0, to numer jest poprawny.
Obliczenia na resztach
W obliczeniach zegarowych możemy wykonywać standardowe operacje arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie. Trzeba tylko pamiętać, aby po każdej operacji wziąć resztę z dzielenia przez moduł.
Dodawanie
Jeśli a ≡ x (mod m) i b ≡ y (mod m), to a + b ≡ x + y (mod m). Przykład: 7 ≡ 2 (mod 5) i 9 ≡ 4 (mod 5). Zatem 7 + 9 ≡ 2 + 4 (mod 5), czyli 16 ≡ 6 (mod 5), a to jest to samo co 16 ≡ 1 (mod 5) i 6 ≡ 1 (mod 5).
Odejmowanie
Podobnie jak dodawanie: jeśli a ≡ x (mod m) i b ≡ y (mod m), to a - b ≡ x - y (mod m). Uwaga! Czasami wynik odejmowania może być ujemny. Wtedy dodajemy moduł m tyle razy, aż otrzymamy liczbę dodatnią. Przykład: 3 ≡ 3 (mod 5) i 8 ≡ 3 (mod 5). Zatem 3 - 8 ≡ 3 - 3 (mod 5), czyli -5 ≡ 0 (mod 5). -5 + 5 = 0, więc wszystko się zgadza.
Mnożenie
Mnożenie też działa analogicznie: jeśli a ≡ x (mod m) i b ≡ y (mod m), to a * b ≡ x * y (mod m). Przykład: 4 ≡ 4 (mod 6) i 5 ≡ 5 (mod 6). Zatem 4 * 5 ≡ 4 * 5 (mod 6), czyli 20 ≡ 20 (mod 6), a to jest to samo co 20 ≡ 2 (mod 6) i 4 * 5 ≡ 20 ≡ 2 (mod 6).
Podsumowanie
Obliczenia zegarowe to nic innego jak arytmetyka reszt z dzielenia. Używamy modułu, aby "zawijać" liczby. Znajomość obliczeń zegarowych przydaje się w wielu dziedzinach, od kryptografii po informatykę. Ćwicz na przykładach z zegarem i dniami tygodnia, a szybko zrozumiesz, o co chodzi.
Teraz spróbuj rozwiązać kilka zadań sam. Pamiętaj o dzieleniu i braniu reszty! Powodzenia na sprawdzianie!
