Oblicz Wartosci Pozostalych Funkcji Trygonometrycznych Kata Ostrego

Cześć! W tym artykule nauczymy się, jak obliczać wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, znając wartość jednej z nich. To bardzo przydatna umiejętność w matematyce i fizyce!

Czym są funkcje trygonometryczne?

Funkcje trygonometryczne opisują relacje między kątami a bokami w trójkącie prostokątnym. Mamy cztery podstawowe funkcje trygonometryczne: sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg) i cotangens (ctg).

Trójkąt prostokątny to taki trójkąt, który ma jeden kąt prosty (90 stopni). Bok naprzeciw kąta prostego nazywamy przeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki to przyprostokątne.

Wyobraź sobie, że stoisz u podnóża wieży Eiffla i mierzysz kąt, pod jakim widzisz jej szczyt. Albo wyobraź sobie deskę do jazdy na nartach na stoku. Funkcje trygonometryczne pomogą Ci obliczyć wysokość wieży lub kąt nachylenia stoku!

Definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego:

• Sinus (sin α) = Długość przyprostokątnej naprzeciw kąta α / Długość przeciwprostokątnej
• Cosinus (cos α) = Długość przyprostokątnej przyległej do kąta α / Długość przeciwprostokątnej
• Tangens (tg α) = Długość przyprostokątnej naprzeciw kąta α / Długość przyprostokątnej przyległej do kąta α
• Cotangens (ctg α) = Długość przyprostokątnej przyległej do kąta α / Długość przyprostokątnej naprzeciw kąta α

Zauważ, że tg α = sin α / cos α oraz ctg α = cos α / sin α. Dodatkowo ctg α = 1 / tg α.

Związek między funkcjami trygonometrycznymi

Istnieją pewne związki (tzw. tożsamości trygonometryczne), które łączą ze sobą funkcje trygonometryczne tego samego kąta. Najważniejsza z nich to jedynka trygonometryczna:

sin² α + cos² α = 1

Ta tożsamość wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Jest bardzo przydatna, gdy znamy wartość sinusa lub cosinusa i chcemy obliczyć wartość drugiej z tych funkcji.

Jak obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne?

Załóżmy, że znamy wartość jednej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α i chcemy obliczyć wartości pozostałych. Użyjemy do tego jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa i cotangensa.

Przykład 1: Znamy sinus kąta α

Załóżmy, że sin α = 3/5. Chcemy obliczyć cos α, tg α i ctg α.

1. Obliczamy cos α: Używamy jedynki trygonometrycznej: sin² α + cos² α = 1 (3/5)² + cos² α = 1 9/25 + cos² α = 1 cos² α = 1 - 9/25 cos² α = 16/25 cos α = √(16/25) cos α = 4/5 (bierzemy tylko wartość dodatnią, bo α jest kątem ostrym)
2. Obliczamy tg α: tg α = sin α / cos α tg α = (3/5) / (4/5) tg α = 3/4
3. Obliczamy ctg α: ctg α = 1 / tg α ctg α = 1 / (3/4) ctg α = 4/3

Zatem, jeśli sin α = 3/5, to cos α = 4/5, tg α = 3/4 i ctg α = 4/3.

Przykład 2: Znamy cosinus kąta α

Załóżmy, że cos α = 5/13. Chcemy obliczyć sin α, tg α i ctg α.

1. Obliczamy sin α: Używamy jedynki trygonometrycznej: sin² α + cos² α = 1 sin² α + (5/13)² = 1 sin² α + 25/169 = 1 sin² α = 1 - 25/169 sin² α = 144/169 sin α = √(144/169) sin α = 12/13 (bierzemy tylko wartość dodatnią, bo α jest kątem ostrym)
2. Obliczamy tg α: tg α = sin α / cos α tg α = (12/13) / (5/13) tg α = 12/5
3. Obliczamy ctg α: ctg α = 1 / tg α ctg α = 1 / (12/5) ctg α = 5/12

Zatem, jeśli cos α = 5/13, to sin α = 12/13, tg α = 12/5 i ctg α = 5/12.

Przykład 3: Znamy tangens kąta α

Załóżmy, że tg α = 2. Chcemy obliczyć sin α, cos α i ctg α.

1. Obliczamy ctg α: ctg α = 1 / tg α ctg α = 1/2
2. Wykorzystujemy tożsamość: 1 + tg² α = 1 / cos² α 1 + 2² = 1 / cos² α 5 = 1 / cos² α cos² α = 1/5 cos α = √(1/5) = √5 / 5 (usuwamy niewymierność z mianownika)
3. Obliczamy sin α: tg α = sin α / cos α 2 = sin α / (√5 / 5) sin α = 2 * (√5 / 5) sin α = (2√5) / 5

Zatem, jeśli tg α = 2, to ctg α = 1/2, cos α = √5 / 5 i sin α = (2√5) / 5.

Przykład 4: Znamy cotangens kąta α

Załóżmy, że ctg α = 1. Chcemy obliczyć sin α, cos α i tg α.

1. Obliczamy tg α: tg α = 1 / ctg α tg α = 1 / 1 tg α = 1
2. Wykorzystujemy tożsamość: 1 + ctg² α = 1 / sin² α 1 + 1² = 1 / sin² α 2 = 1 / sin² α sin² α = 1/2 sin α = √(1/2) = √2 / 2 (usuwamy niewymierność z mianownika)
3. Obliczamy cos α: ctg α = cos α / sin α 1 = cos α / (√2 / 2) cos α = 1 * (√2 / 2) cos α = √2 / 2

Zatem, jeśli ctg α = 1, to tg α = 1, sin α = √2 / 2 i cos α = √2 / 2.

Podsumowanie

Znając wartość jednej funkcji trygonometrycznej kąta ostrego, możemy, wykorzystując jedynkę trygonometryczną oraz definicje tangensa i cotangensa, obliczyć wartości pozostałych funkcji.

Pamiętaj o dokładnych obliczeniach i sprawdzeniu, czy uzyskane wyniki mają sens (np. czy wartości sinusa i cosinusa mieszczą się w przedziale [-1, 1]).

Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł Ci zrozumieć, jak obliczać wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. Powodzenia w nauce!