Spróbujmy policzyć pole prostokąta. Znamy tylko długość jego przekątnej: 7 cm. Brzmi trudne? Nie martw się! Rozwiążemy to razem.
Wyobraź sobie prostokąt. Jak okno, albo kartka papieru. Przekątna to linia, która łączy dwa przeciwległe rogi.
Teraz zamknij oczy i pomyśl o drabinie oparta o ścianę. Drabina to nasza przekątna. Ściana i podłoga tworzą boki prostokąta.
Niestety, znając tylko długość drabiny (przekątnej), nie wiemy, jak wysoka jest ściana (jeden bok) i jak daleko od ściany stoi drabina (drugi bok). To za mało informacji!
Musimy mieć coś więcej. Powiedzmy, że znamy związek między bokami.
Związek między bokami prostokąta
Najczęściej zadanie można rozwiązać, jeśli mamy dodatkową informację. Na przykład wiemy, że jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego.
Wyobraź sobie, że krótszy bok prostokąta to x. Dłuższy bok to wtedy 2x.
Pamiętasz twierdzenie Pitagorasa? To ono nam pomoże! Mówi ono, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych (boków tworzących kąt prosty) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego).
W naszym przypadku: x2 + (2x)2 = 72
Teraz musimy rozwiązać to równanie.
x2 + 4x2 = 49
5x2 = 49
x2 = 49 / 5
x = √ (49 / 5) ≈ 3.13 cm
Zatem, krótszy bok (x) ma około 3.13 cm.
Dłuższy bok (2x) ma około 2 * 3.13 = 6.26 cm.
Obliczanie pola
Pole prostokąta obliczamy mnożąc długość jednego boku przez długość drugiego boku.
Pole = x * 2x = 3.13 cm * 6.26 cm ≈ 19.6 cm2
Czyli pole naszego prostokąta wynosi około 19.6 centymetrów kwadratowych.
Wyobraź sobie kwadrat o boku długości 1 cm. Potrzebujesz około 19.6 takich kwadratów, żeby pokryć cały nasz prostokąt.
Inny przykład
Załóżmy, że wiemy, iż boki prostokąta są równe.
Wtedy nasz prostokąt to kwadrat!
W kwadracie wszystkie boki są równe, oznaczmy je jako a.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: a2 + a2 = 72
2a2 = 49
a2 = 49 / 2
a = √ (49 / 2) ≈ 4.95 cm
Teraz obliczamy pole kwadratu: Pole = a * a = a2 = 49 / 2 = 24.5 cm2
Pole kwadratu wynosi 24.5 centymetrów kwadratowych.
Spróbuj narysować oba te prostokąty. Zauważysz, że kwadrat ma większe pole, mimo że oba mają przekątną długości 7 cm.
Widzisz, kluczem jest dodatkowa informacja o bokach prostokąta!
Podsumowanie
Aby obliczyć pole prostokąta znając tylko długość przekątnej, potrzebujemy dodatkowej informacji o relacji między jego bokami. Możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i rozwiązać równanie, aby znaleźć długości boków. Potem mnożymy te długości, by obliczyć pole.
Pamiętaj o tym, że różne relacje między bokami dadzą różne pola, mimo tej samej długości przekątnej.
Ćwicz na różnych przykładach, żeby dobrze zrozumieć ten temat. Powodzenia!

