hit tracker
Jak możemy Ci pomóc?

Oblicz Pole Czworokąta O Wierzchołkach

Oblicz Pole Czworokąta O Wierzchołkach

Chcesz poznać tajemnicę obliczania pola czworokąta, znając tylko współrzędne jego wierzchołków? To prostsze niż myślisz! Zapraszam do wspólnej podróży po geometrii analitycznej.

Wyobraź sobie mapę skarbów. Na tej mapie masz cztery punkty, oznaczone jako wierzchołki. Te cztery punkty tworzą czworokąt. Naszym celem jest znalezienie "powierzchni" tego czworokąta - czyli obliczenie jego pola.

Kiedy czworokąt jest prosty: równoległobok i trapez

Zacznijmy od prostych przypadków. Czasami nasz czworokąt jest równoległobokiem. Albo trapezem. Wtedy sprawa jest łatwiejsza.

Równoległobok: Pomyśl o przesuniętym prostokącie. Potrzebujesz długości podstawy i wysokości. Obliczasz iloczyn podstawy i wysokości. To wszystko!

Trapez: Trapez ma dwie podstawy, które są równoległe. Potrzebujesz długości obu podstaw i wysokości trapezu. Użyj wzoru: (a + b) * h / 2, gdzie a i b to długości podstaw, a h to wysokość.

Czworokąt nieregularny: Metoda podziału

Ale co, jeśli czworokąt jest "dziwny"? Nie jest ani równoległobokiem, ani trapezem. Ma nieregularny kształt. Nie martw się! Mamy sprytny sposób.

Podziel czworokąt na dwa trójkąty. To jak krojenie pizzy na dwa kawałki. Teraz masz dwa proste kształty. Obliczysz pole każdego trójkąta oddzielnie. Sumujesz pola trójkątów. I masz pole czworokąta!

Jak obliczyć pole trójkąta, znając wierzchołki?

Tu wkracza magia wzoru na pole trójkąta z wykorzystaniem determinant. Brzmi groźnie? Spokojnie, rozłożymy to na czynniki pierwsze.

Załóżmy, że masz trójkąt o wierzchołkach A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3). Wzór wygląda tak: Pole = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Pamiętaj o wartości bezwzględnej (oznaczonej przez | |). Zapewnia, że pole zawsze będzie dodatnie. Pole powierzchni nie może być ujemne!

Wyobraź sobie tabelę. W pierwszej kolumnie masz x1, x2, x3. W drugiej kolumnie masz y1, y2, y3. Teraz wykonujesz serię mnożeń i dodawań, zgodnie ze wzorem.

Przykład: Załóżmy, że wierzchołki trójkąta to A(1, 2), B(4, 3) i C(2, 5).

Pole = 0.5 * |1(3 - 5) + 4(5 - 2) + 2(2 - 3)| = 0.5 * |-2 + 12 - 2| = 0.5 * 8 = 4

Zatem pole tego trójkąta wynosi 4 jednostki kwadratowe.

Wzór Gaussa: Dla bardziej zaawansowanych

Istnieje jeszcze jeden sposób: Wzór Gaussa na pole wielokąta. Jest to uogólnienie wzoru na pole trójkąta. Działa dla dowolnego wielokąta, w tym czworokąta.

Załóżmy, że wierzchołki czworokąta to A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) i D(x4, y4). Wzór wygląda tak:

Pole = 0.5 * |(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) - (x2y1 + x3y2 + x4y3 + x1y4)|

To wygląda bardziej skomplikowanie, ale zasada jest podobna. Mnożysz x i y w określony sposób, dodajesz wyniki, a następnie odejmujesz od tego inną sumę mnożeń x i y.

Przykład: Wierzchołki czworokąta to A(1, 1), B(3, 2), C(4, 4), D(2, 3).

Pole = 0.5 * |(1*2 + 3*4 + 4*3 + 2*1) - (3*1 + 4*2 + 2*4 + 1*3)| = 0.5 * |(2 + 12 + 12 + 2) - (3 + 8 + 8 + 3)| = 0.5 * |28 - 22| = 0.5 * 6 = 3

Zatem pole tego czworokąta wynosi 3 jednostki kwadratowe.

Podsumowanie

Obliczanie pola czworokąta o znanych wierzchołkach to jak układanie puzzli. Najpierw sprawdzasz, czy czworokąt jest prosty (równoległobok, trapez). Jeśli nie, dzielisz go na trójkąty. Używasz wzoru na pole trójkąta (lub wzoru Gaussa) do obliczenia pola każdego trójkąta. Sumujesz pola trójkątów. I voilà! Masz pole czworokąta.

Pamiętaj, geometria to zabawa! Ćwicz, eksperymentuj, a staniesz się mistrzem obliczania pól figur.

Oblicz pole kwadratu znając jego obwód - YouTube Oblicz Pole Czworokąta O Wierzchołkach
Szkoła Podstawowa W Budach Siennickich
Liczebnik Główny Zbiorowy I Porządkowy