Hej! Zastanawiasz się, jak obliczyć długość trzeciego boku w trójkącie? To wcale nie musi być trudne!
Wyobraź sobie trójkąt jak kawałek pizzy. Dwa kawałki już znasz, a chcesz dowiedzieć się, jak duży jest ten ostatni.
Obliczanie Długości Trzeciego Boku Znając Dwa Boki i Kąt Między Nimi
Najczęściej, aby rozwiązać ten problem, używamy twierdzenia cosinusów. Brzmi groźnie? Spokojnie!
Pomyśl o tym, jak o przepisie na pizzę. Potrzebujesz składników (dane) i instrukcji (wzór).
Wzór wygląda tak: c2 = a2 + b2 - 2ab * cos(γ)
Gdzie:
a i b to długości znanych boków.
c to długość boku, którego szukamy.
γ (gamma) to kąt pomiędzy bokami a i b.
Zacznijmy od prostego przykładu.
Wyobraź sobie trójkąt. Bok a ma długość 5 cm, bok b ma długość 7 cm, a kąt γ między nimi to 60 stopni.
Podstawiamy te wartości do wzoru:
c2 = 52 + 72 - 2 * 5 * 7 * cos(60°)
Pamiętaj, że cos(60°) = 0.5.
c2 = 25 + 49 - 70 * 0.5
c2 = 74 - 35
c2 = 39
Teraz, aby znaleźć c, musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 39.
c ≈ 6.24 cm
Gotowe! Długość trzeciego boku to około 6.24 cm.
Kiedy Używać Twierdzenia Cosinusów?
Twierdzenie cosinusów to Twój superbohater, kiedy znasz dwa boki i kąt między nimi, lub kiedy znasz wszystkie trzy boki i chcesz obliczyć kąt.
Pomyśl o GPS. Czasem potrzebujesz znać odległość między dwoma punktami (dwa boki) i kąt, pod którym musisz skręcić, aby dotrzeć do celu (kąt).
Obliczanie Długości Trzeciego Boku Znając Dwa Kąty i Bok (Twierdzenie Sinusów)
Czasem zamiast kąta między dwoma bokami, znamy dwa kąty i bok. Wtedy wkracza do akcji twierdzenie sinusów.
Wzór wygląda tak: a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)
Gdzie:
a, b, c to długości boków.
α (alfa), β (beta), γ (gamma) to kąty naprzeciwko odpowiednich boków.
Wyobraź sobie trójkąt, gdzie bok a ma długość 10 cm, kąt α naprzeciwko niego ma 30 stopni, a kąt β ma 45 stopni. Chcemy znaleźć długość boku b.
Używamy części wzoru: a / sin(α) = b / sin(β)
10 / sin(30°) = b / sin(45°)
Wiemy, że sin(30°) = 0.5, a sin(45°) ≈ 0.707.
10 / 0.5 = b / 0.707
20 = b / 0.707
Teraz, aby znaleźć b, mnożymy 20 przez 0.707.
b ≈ 14.14 cm
Wspaniale! Bok b ma długość około 14.14 cm.
Kiedy Używać Twierdzenia Sinusów?
Twierdzenie sinusów jest idealne, gdy znasz dwa kąty i bok naprzeciwko jednego z nich, lub gdy znasz dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich.
Pomyśl o nawigacji morskiej. Kapitan zna kąt pod jakim widzi dwa punkty orientacyjne (dwa kąty) i odległość do jednego z nich (bok). Dzięki temu może określić swoją pozycję!
Szczególny Przypadek: Trójkąt Prostokątny (Twierdzenie Pitagorasa)
Jeśli trójkąt jest prostokątny, sytuacja się upraszcza. Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa.
Wzór wygląda tak: a2 + b2 = c2
Gdzie:
a i b to przyprostokątne (boki przylegające do kąta prostego).
c to przeciwprostokątna (bok naprzeciwko kąta prostego).
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny. Bok a ma długość 3 cm, bok b ma długość 4 cm. Chcemy znaleźć długość boku c.
Podstawiamy do wzoru:
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
Teraz, aby znaleźć c, obliczamy pierwiastek kwadratowy z 25.
c = 5 cm
Proste, prawda? Przeciwprostokątna ma długość 5 cm.
Kiedy Używać Twierdzenia Pitagorasa?
Twierdzenie Pitagorasa działa tylko w trójkątach prostokątnych. Jest idealne, gdy znasz długości dwóch boków i chcesz obliczyć długość trzeciego.
Pomyśl o budowaniu. Stolarz używa twierdzenia Pitagorasa, aby upewnić się, że róg ściany jest idealnie prosty.
Podsumowanie
Obliczanie długości trzeciego boku trójkąta nie musi być straszne. Wybierz odpowiednią metodę w zależności od tego, co już wiesz.
Pamiętaj: twierdzenie cosinusów dla dwóch boków i kąta między nimi, twierdzenie sinusów dla dwóch kątów i boku, a twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.
Ćwicz, a szybko staniesz się mistrzem trójkątów!
