Hej! Dzisiaj zajmiemy się zadaniem, które często pojawia się na lekcjach matematyki: obliczaniem długości przekątnej kwadratu. Brzmi groźnie? Spokojnie, rozłożymy to na czynniki pierwsze!
Konkretnie, rozwiążemy problem: Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 4. Zanim zaczniemy liczyć, upewnijmy się, że wszyscy rozumiemy podstawowe pojęcia.
Czym jest kwadrat?
Kwadrat to specjalny rodzaj prostokąta. Ma cztery równe boki i cztery kąty proste (czyli kąty o mierze 90 stopni). Wyobraź sobie szachownicę (ignorując kolory pól) albo chusteczkę złożoną w równą kostkę. To są przykłady kwadratów!
Wszystkie boki kwadratu są identyczne. To bardzo ważna cecha, którą wykorzystamy do obliczeń. Oznaczmy długość boku kwadratu jako "a".
Co to jest przekątna?
Przekątna to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki (rogi) figury. W kwadracie mamy dwie przekątne. Obie są tej samej długości.
Pomyśl o kartce w kształcie kwadratu. Jeśli narysujesz linię od jednego rogu do rogu po przeciwnej stronie, to właśnie narysowałeś przekątną. Ta linia dzieli kwadrat na dwa trójkąty.
Oznaczmy długość przekątnej kwadratu jako "d". To właśnie "d" chcemy obliczyć, znając długość boku "a".
Potrzebne narzędzie: Twierdzenie Pitagorasa
Do obliczenia długości przekątnej kwadratu wykorzystamy słynne Twierdzenie Pitagorasa. To jedno z fundamentalnych twierdzeń w geometrii.
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym (czyli takim, który ma jeden kąt prosty), suma kwadratów długości przyprostokątnych (boków przylegających do kąta prostego) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (boku naprzeciwko kąta prostego).
Brzmi skomplikowanie? Spokojnie. Możemy to zapisać za pomocą wzoru: a2 + b2 = c2, gdzie "a" i "b" to długości przyprostokątnych, a "c" to długość przeciwprostokątnej.
Kwadrat i Trójkąt Prostokątny
Teraz połączymy kwadrat z Twierdzeniem Pitagorasa. Jak wspomnieliśmy wcześniej, przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne. Przyprostokątnymi w tych trójkątach są boki kwadratu (czyli "a"), a przeciwprostokątną jest właśnie przekątna (czyli "d").
Wyobraź sobie, że masz kwadrat i narysowałeś w nim przekątną. Skup się na jednym z dwóch powstałych trójkątów. Widzisz kąt prosty? Boki kwadratu przylegające do tego kąta prostego to nasze "a" i "b" w Twierdzeniu Pitagorasa, a przekątna kwadratu to nasze "c".
Ponieważ w kwadracie "a" i "b" są równe (oba to boki kwadratu), możemy uprościć wzór Twierdzenia Pitagorasa do: a2 + a2 = d2. To już prościej, prawda?
Obliczamy długość przekątnej
Teraz możemy rozwiązać nasz problem. Mamy kwadrat o boku 4, czyli a = 4. Chcemy obliczyć "d" (długość przekątnej).
Wstawmy wartość "a" do naszego wzoru: 42 + 42 = d2.
Obliczmy kwadraty: 16 + 16 = d2.
Dodajmy liczby: 32 = d2.
Teraz musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do kwadratu daje 32. Innymi słowy, musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy z 32. Oznaczamy to symbolem √32.
Więc: d = √32.
Upraszczanie pierwiastka
Możemy jeszcze uprościć √32. Szukamy największego kwadratu liczby, który dzieli 32. W tym przypadku jest to 16 (ponieważ 16 x 2 = 32).
Możemy więc zapisać √32 jako √(16 * 2). A to z kolei można rozbić na √16 * √2.
Pierwiastek kwadratowy z 16 to 4, więc mamy: d = 4√2.
Ostatecznie, długość przekątnej kwadratu o boku 4 wynosi 4√2. Możemy to również zapisać w postaci przybliżonej liczby dziesiętnej, przybliżając √2 do 1.41 (wartość bardziej dokładna to 1.41421356...): d ≈ 4 * 1.41 ≈ 5.64. Zatem przekątna ma długość około 5.64 jednostek długości.
Podsumowanie
Gratulacje! Właśnie obliczyłeś długość przekątnej kwadratu. Kluczem do sukcesu było zrozumienie, czym jest kwadrat, przekątna oraz wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa.
Pamiętaj: Długość przekątnej kwadratu o boku "a" można zawsze obliczyć ze wzoru: d = a√2. To bardzo przydatny wzór, który warto zapamiętać. W naszym przypadku a=4, więc d=4√2.
Spróbuj rozwiązać podobne zadania z innymi długościami boków kwadratów. Im więcej ćwiczysz, tym lepiej zrozumiesz ten koncept. Powodzenia!
