Hej! Gotowi na Numerical Analysis? Przygotowa艂em dla Was ma艂膮 pomoc. Skupimy si臋 na kluczowych zagadnieniach. Pomo偶e to Wam zda膰 egzamin.
Rozdzia艂 1: B艂臋dy i Reprezentacja Liczb
Zaczynamy od podstaw. Zrozumienie b艂臋d贸w jest kluczowe.
Rodzaje b艂臋d贸w
Mamy kilka rodzaj贸w b艂臋d贸w. Wa偶ne 偶eby je rozr贸偶nia膰.
B艂膮d zaokr膮glenia: wynik u偶ywania sko艅czonej precyzji komputer贸w. Komputer nie mo偶e przechowywa膰 wszystkich liczb dok艂adnie.
B艂膮d obci臋cia: wynika z u偶ywania przybli偶onych wzor贸w. Zamiast niesko艅czonej sumy u偶ywamy sko艅czonej.
B艂膮d danych wej艣ciowych: b艂臋dy w danych, kt贸re wprowadzamy do programu. Np. niedok艂adny pomiar.
B艂膮d bezwzgl臋dny: |prawdziwa warto艣膰 - przybli偶ona warto艣膰|.
B艂膮d wzgl臋dny: |(prawdziwa warto艣膰 - przybli偶ona warto艣膰) / prawdziwa warto艣膰|.
Pami臋taj, b艂膮d wzgl臋dny jest lepszy do oceny dok艂adno艣ci.
Reprezentacja liczb w komputerze
Komputery u偶ywaj膮 systemu binarnego. Musimy to rozumie膰.
Liczba zmiennoprzecinkowa: reprezentacja liczb w postaci mantysy i cechy. Na przyk艂ad: 1.2345 x 105.
Normalizacja: mantysa jest zwykle normalizowana, aby mia艂a jedn膮 cyfr臋 przed przecinkiem.
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa: operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych mog膮 prowadzi膰 do b艂臋d贸w zaokr膮gle艅.
Utrata znaczenia cyfr: odejmowanie bliskich liczb mo偶e prowadzi膰 do utraty dok艂adno艣ci.
Rozdzia艂 2: Rozwi膮zywanie R贸wna艅 Nieliniowych
Teraz przejdziemy do rozwi膮zywania r贸wna艅. To wa偶ny temat.
Metoda Bisekcji
Prosta i niezawodna metoda. Zawsze znajdzie rozwi膮zanie, je艣li istnieje.
Za艂o偶enie: funkcja musi by膰 ci膮g艂a i zmienia膰 znak na przedziale [a, b].
Iteracja: dzielimy przedzia艂 na p贸艂 i wybieramy podprzedzia艂, w kt贸rym funkcja zmienia znak.
Zbie偶no艣膰: powolna, ale pewna.
Metoda Newtona-Raphsona
Szybsza metoda, ale mo偶e nie zawsze zbiega膰.
Wymaga pochodnej: musimy zna膰 pochodn膮 funkcji.
Iteracja: xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn).
Zbie偶no艣膰: kwadratowa, je艣li startujemy blisko rozwi膮zania.
Potencjalne problemy: brak zbie偶no艣ci, oscylacje, dzielenie przez zero.
Metoda Siecznych
Podobna do Newtona, ale nie wymaga pochodnej. U偶ywa przybli偶enia pochodnej.
Iteracja: xn+1 = xn - f(xn) * (xn - xn-1) / (f(xn) - f(xn-1)).
Zbie偶no艣膰: superliniowa, troch臋 wolniejsza ni偶 Newton.
Metoda iteracji prostej (punkt sta艂y)
Przekszta艂camy r贸wnanie f(x) = 0 do postaci x = g(x).
Iteracja: xn+1 = g(xn).
Zbie偶no艣膰: zale偶y od |g'(x)| < 1 w otoczeniu punktu sta艂ego.
Rozdzia艂 3: Interpolacja i Aproksymacja
Teraz zajmiemy si臋 przybli偶aniem funkcji. Bardzo przydatne.
Interpolacja Lagrange'a
Tworzymy wielomian, kt贸ry przechodzi przez dane punkty.
Wz贸r: wielomian jest sum膮 iloczyn贸w wag i warto艣ci funkcji w w臋z艂ach.
Zastosowanie: przybli偶anie funkcji na podstawie danych.
Interpolacja Newtona
Inna forma wielomianu interpolacyjnego. U偶ywa r贸偶nic dzielonych.
R贸偶nice dzielone: rekurencyjna definicja r贸偶nic dzielonych.
Zastosowanie: 艂atwiejsze dodawanie nowych w臋z艂贸w interpolacyjnych.
Interpolacja Splajnami
U偶ywamy kawa艂k贸w wielomian贸w do interpolacji. Zwykle splajny kubiczne.
Splajn kubiczny: wielomian trzeciego stopnia na ka偶dym przedziale.
Warunki g艂adko艣ci: pierwsze i drugie pochodne musz膮 by膰 ci膮g艂e.
Zastosowanie: g艂adkie i dok艂adne przybli偶anie funkcji.
Aproksymacja 艣redniokwadratowa
Szukamy funkcji, kt贸ra najlepiej pasuje do danych w sensie najmniejszych kwadrat贸w.
Funkcja b艂臋du: suma kwadrat贸w r贸偶nic mi臋dzy warto艣ciami funkcji i danymi.
R贸wnania normalne: rozwi膮zanie uk艂adu r贸wna艅, kt贸re minimalizuje funkcj臋 b艂臋du.
Rozdzia艂 4: R贸偶niczkowanie i Ca艂kowanie Numeryczne
Ostatni temat: liczenie pochodnych i ca艂ek numerycznie.
R贸偶niczkowanie Numeryczne
Przybli偶amy pochodn膮 za pomoc膮 r贸偶nic sko艅czonych.
Wz贸r r贸偶nicowy post臋powy: (f(x+h) - f(x)) / h.
Wz贸r r贸偶nicowy wsteczny: (f(x) - f(x-h)) / h.
Wz贸r r贸偶nicowy centralny: (f(x+h) - f(x-h)) / (2h). Zwykle dok艂adniejszy.
B艂膮d: zale偶y od kroku h i g艂adko艣ci funkcji.
Ca艂kowanie Numeryczne
Przybli偶amy ca艂k臋 za pomoc膮 sum wa偶onych warto艣ci funkcji.
Wz贸r trapez贸w: przybli偶amy obszar pod krzyw膮 za pomoc膮 trapez贸w.
Wz贸r Simpsona: przybli偶amy obszar pod krzyw膮 za pomoc膮 parabol.
Kwadratury Gaussa: wybieramy w臋z艂y i wagi tak, aby maksymalizowa膰 dok艂adno艣膰.
B艂膮d: zale偶y od kroku h i g艂adko艣ci funkcji.
Podsumowanie
Pami臋taj o definicjach b艂臋d贸w. Metody rozwi膮zywania r贸wna艅 nieliniowych s膮 wa偶ne. Interpolacja i aproksymacja pozwalaj膮 przybli偶a膰 funkcje. R贸偶niczkowanie i ca艂kowanie numeryczne s膮 przydatne, gdy nie mo偶emy obliczy膰 dok艂adnych warto艣ci.
Powodzenia na egzaminie! Wierz臋 w Ciebie.
