Hej! Gotowi na powtórkę z mnożenia potęg o różnych podstawach? Bez obaw, to prostsze niż myślisz! Razem przejdziemy przez wszystko krok po kroku. Zaczynamy!
Podstawy potęg
Pamiętasz, co to w ogóle jest potęga? To skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie kilka razy. Na przykład 23 = 2 * 2 * 2 = 8.
Tutaj 2 to podstawa potęgi, a 3 to wykładnik potęgi.
Wykładnik mówi nam, ile razy mamy pomnożyć podstawę przez samą siebie.
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
Zanim przejdziemy do potęg o różnych podstawach, przypomnijmy sobie mnożenie potęg o tej samej podstawie. To bardzo ważne!
Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy ich wykładniki. Czyli: am * an = am+n.
Na przykład: 22 * 23 = 22+3 = 25 = 32.
Potęga potęgi
A co się dzieje, gdy mamy potęgę potęgi? Wtedy mnożymy wykładniki. Czyli: (am)n = am*n.
Na przykład: (32)3 = 32*3 = 36 = 729.
Mnożenie potęg o różnych podstawach i tym samym wykładniku
Teraz przejdźmy do sedna – mnożenie potęg o różnych podstawach, ale tym samym wykładniku. To kluczowy przypadek!
Gdy mamy mnożenie potęg o różnych podstawach i tym samym wykładniku, możemy pomnożyć podstawy i podnieść wynik do tego wykładnika. Czyli: an * bn = (a * b)n.
Na przykład: 23 * 53 = (2 * 5)3 = 103 = 1000.
Przykłady
Spójrzmy na więcej przykładów:
- 32 * 42 = (3 * 4)2 = 122 = 144
- (-2)3 * 53 = (-2 * 5)3 = (-10)3 = -1000
- (1/2)2 * 42 = (1/2 * 4)2 = 22 = 4
Kiedy nie możemy zastosować tego wzoru?
Ważne! Tego wzoru możemy użyć tylko, gdy wykładniki są takie same. Jeżeli wykładniki są różne, musimy kombinować inaczej (o tym za chwilę!).
Mnożenie potęg o różnych podstawach i różnych wykładnikach
A co zrobić, gdy mamy różne podstawy i różne wykładniki? To trochę trudniejsze, ale też do ogarnięcia!
W takim przypadku zazwyczaj nie możemy zastosować żadnego gotowego wzoru. Musimy spróbować doprowadzić do sytuacji, gdzie albo podstawy, albo wykładniki będą takie same.
Przekształcanie podstaw
Czasami możemy przekształcić podstawy, żeby były takie same. Na przykład:
Chcemy obliczyć 42 * 23.
Zauważmy, że 4 = 22. Więc możemy zapisać to jako:
(22)2 * 23 = 24 * 23 = 27 = 128.
Przekształcanie wykładników (rzadziej)
Czasami możemy manipulować wykładnikami, ale to zdarza się rzadziej i jest trudniejsze. Potrzebna jest dobra znajomość działań na potęgach.
Metoda siłowa: obliczenie osobno i pomnożenie
Jeśli żadne przekształcenia nie pomagają, zawsze możemy po prostu obliczyć każdą potęgę osobno, a potem je pomnożyć. Czasami to najprostsze rozwiązanie!
Na przykład: 32 * 53 = 9 * 125 = 1125.
Przykłady trudniejsze
Spójrzmy na kilka bardziej skomplikowanych przykładów:
82 * (1/2)4 = (23)2 * (2-1)4 = 26 * 2-4 = 22 = 4
91/2 * 20 * 52 = (32)1/2 * 1 * 25 = 3 * 1 * 25 = 75 (Pamiętaj, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 to 1!).
Podsumowanie
Super! Doszliśmy do końca! Oto najważniejsze punkty:
- am * an = am+n (Mnożenie potęg o tej samej podstawie)
- (am)n = am*n (Potęga potęgi)
- an * bn = (a * b)n (Mnożenie potęg o różnych podstawach i tym samym wykładniku)
- Gdy mamy różne podstawy i różne wykładniki, staramy się przekształcić podstawy lub wykładniki, żeby były takie same. W ostateczności obliczamy każdą potęgę osobno i mnożymy wyniki.
Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza! Im więcej przykładów rozwiążesz, tym łatwiej będzie Ci radzić sobie z potęgami. Powodzenia na egzaminie!
