Hej! Gotowi na algebrę? Dziś zajmiemy się mnożeniem i dzieleniem ułamków algebraicznych. Bez obaw, to prostsze niż się wydaje!
Czym są Ułamki Algebraiczne?
Pomyśl o zwykłym ułamku, np. 1/2. Teraz wyobraź sobie, że zamiast liczb masz tam literki (zmienne) i liczby. To właśnie jest ułamek algebraiczny.
Przykłady: x/y, (a+1)/b, (x2 + 2x)/(x - 3).
Zmienne, takie jak x, y, a, reprezentują nieznane liczby.
Mnożenie Ułamków Algebraicznych
Mnożenie ułamków algebraicznych to jak mnożenie zwykłych ułamków. Mnożymy licznik razy licznik i mianownik razy mianownik.
Czyli: (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d)
Przykład 1
Oblicz: (x/2) * (3/y)
Rozwiązanie: (x * 3) / (2 * y) = 3x / 2y
Przykład 2
Oblicz: ((x+1)/5) * (2/(x-2))
Rozwiązanie: ((x+1) * 2) / (5 * (x-2)) = 2(x+1) / 5(x-2) = (2x+2) / (5x - 10)
Upraszczanie po Mnożeniu
Często po pomnożeniu możesz uprościć ułamek. Polega to na skróceniu wspólnych czynników w liczniku i mianowniku.
Przykład 3
Oblicz i uprość: (2x/3) * (6/x)
Rozwiązanie: (2x * 6) / (3 * x) = 12x / 3x
Teraz upraszczamy. Zarówno 12x, jak i 3x dzielą się przez 3x.
12x / 3x = 4/1 = 4
Dzielenie Ułamków Algebraicznych
Dzielenie ułamków algebraicznych to jak dzielenie zwykłych ułamków: mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka.
Czyli: (a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a*d) / (b*c)
Odwrotność ułamka to zamiana licznika z mianownikiem. Np. odwrotność 2/3 to 3/2.
Przykład 1
Oblicz: (x/4) / (y/2)
Rozwiązanie: (x/4) * (2/y) = (x * 2) / (4 * y) = 2x / 4y
Upraszczamy: 2x / 4y = x / 2y (dzielimy licznik i mianownik przez 2)
Przykład 2
Oblicz: ((a+2)/3) / ((a-1)/6)
Rozwiązanie: ((a+2)/3) * (6/(a-1)) = ((a+2) * 6) / (3 * (a-1)) = 6(a+2) / 3(a-1)
Upraszczamy: 6(a+2) / 3(a-1) = 2(a+2) / (a-1) = (2a + 4) / (a - 1)
Pamiętaj o Definicji!
Podczas dzielenia ułamków algebraicznych, ważne jest, aby pamiętać, że mianownik nigdy nie może być równy zero. Oznacza to, że musimy wykluczyć wartości zmiennych, które powodują, że mianownik jest równy zero.
Na przykład, w ułamku 1/x, x nie może być równe zero. W ułamku 1/(x-1), x nie może być równe 1.
Trudniejsze Przykłady
Czasem będziemy musieli rozłożyć wyrażenia na czynniki, zanim będziemy mogli uprościć ułamki.
Przykład 1
Oblicz i uprość: (x2 - 4) / (x + 2)
Zauważ, że x2 - 4 to różnica kwadratów. Możemy to rozłożyć na (x - 2)(x + 2).
Zatem: (x2 - 4) / (x + 2) = ((x - 2)(x + 2)) / (x + 2)
Teraz możemy skrócić (x + 2): ((x - 2)(x + 2)) / (x + 2) = x - 2
Przykład 2
Oblicz i uprość: ((x2 + 3x + 2) / (x + 1)) * ((x + 3) / (x + 2))
Rozkładamy x2 + 3x + 2 na (x + 1)(x + 2).
Zatem: (((x + 1)(x + 2)) / (x + 1)) * ((x + 3) / (x + 2))
Skracamy (x + 1) i (x + 2): (x + 3)
Praktyka Czyni Mistrza
Najlepszy sposób na opanowanie mnożenia i dzielenia ułamków algebraicznych to ćwiczenia. Rozwiązuj zadania, szukaj przykładów w podręcznikach i w internecie. Im więcej ćwiczysz, tym łatwiej to zrozumiesz!
Pamiętaj o upraszczaniu wyników i sprawdzaniu, czy mianownik nie jest równy zero.
Powodzenia!
