Witaj! Dziś zajmiemy się ćwiczeniami z podręcznika Matematyka z Plusem 8. Skupimy się na powtórzeniu i utrwaleniu najważniejszych zagadnień, abyś mógł lepiej zrozumieć matematykę.
Potęgi
Zaczniemy od potęg. Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. Na przykład, 23 oznacza 2 * 2 * 2, co daje 8. Liczbę 2 nazywamy podstawą potęgi, a liczbę 3 – wykładnikiem potęgi.
Musisz pamiętać o kilku ważnych zasadach dotyczących potęg. Jeżeli mnożymy potęgi o tej samej podstawie, to dodajemy wykładniki. Na przykład, am * an = am+n. Jeżeli dzielimy potęgi o tej samej podstawie, to odejmujemy wykładniki. Czyli am / an = am-n, pod warunkiem, że a jest różne od zera.
Przykład: oblicz 52 * 53. Mamy tę samą podstawę, czyli 5. Dodajemy wykładniki: 2 + 3 = 5. Zatem 52 * 53 = 55 = 3125.
Kolejna zasada to potęgowanie potęgi. (am)n = am*n. Przykład: (32)4 = 32*4 = 38. Pamiętaj, żeby wykładniki mnożyć.
Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność liczby podniesionej do potęgi o wykładniku dodatnim. Czyli a-n = 1/an. Przykład: 2-3 = 1/23 = 1/8.
Pamiętaj, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1 (z wyjątkiem 00, które jest nieokreślone). a0 = 1.
Pierwiastki
Teraz zajmiemy się pierwiastkami. Pierwiastek jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby a, oznaczany jako √a, to taka liczba, która podniesiona do kwadratu daje a. Na przykład, √9 = 3, ponieważ 32 = 9.
Podobnie, pierwiastek sześcienny z liczby a, oznaczany jako 3√a, to taka liczba, która podniesiona do sześcianu daje a. Na przykład, 3√8 = 2, ponieważ 23 = 8.
Możemy mnożyć i dzielić pierwiastki tego samego stopnia. √a * √b = √(a*b) oraz √a / √b = √(a/b). Przykład: √2 * √8 = √(2*8) = √16 = 4.
Ważną umiejętnością jest wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka. Chodzi o to, żeby uprościć wyrażenie z pierwiastkiem. Na przykład, √12 = √(4*3) = √4 * √3 = 2√3. Szukamy czynnika, który jest kwadratem liczby.
Usuwanie niewymierności z mianownika polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez taki pierwiastek, żeby w mianowniku otrzymać liczbę wymierną. Na przykład, jeśli mamy ułamek 1/√2, mnożymy licznik i mianownik przez √2. Otrzymujemy √2 / 2.
Wyrażenia Algebraiczne
Przejdźmy do wyrażeń algebraicznych. Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie, w którym występują liczby, litery (zmienne) i znaki działań. Na przykład, 3x + 2y - 5 jest wyrażeniem algebraicznym.
Możemy upraszczać wyrażenia algebraiczne, redukując wyrazy podobne. Wyrazy podobne to takie, które mają te same zmienne w tych samych potęgach. Na przykład, w wyrażeniu 5x + 3y - 2x + y, wyrazy 5x i -2x są podobne, podobnie jak 3y i y. Po redukcji otrzymujemy 3x + 4y.
Kolejną ważną umiejętnością jest mnożenie sum algebraicznych. Każdy wyraz z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz z drugiego nawiasu. Na przykład, (a + b) * (c + d) = a*c + a*d + b*c + b*d.
Warto znać wzory skróconego mnożenia. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. a2 - b2 = (a - b)(a + b). Znajomość tych wzorów znacznie ułatwia upraszczanie wyrażeń.
Przykład: Uprość wyrażenie (x + 3)2. Korzystamy ze wzoru (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Zatem (x + 3)2 = x2 + 2*x*3 + 32 = x2 + 6x + 9.
Równania
Na koniec zajmiemy się równaniami. Równanie to równość, w której występuje niewiadoma (zwykle oznaczana literą x). Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej, która spełnia to równanie.
Możemy dodawać i odejmować od obu stron równania to samo wyrażenie. Na przykład, jeśli mamy równanie x + 5 = 10, możemy odjąć 5 od obu stron. Otrzymujemy x = 5.
Możemy mnożyć i dzielić obie strony równania przez tę samą liczbę (różną od zera). Na przykład, jeśli mamy równanie 2x = 8, możemy podzielić obie strony przez 2. Otrzymujemy x = 4.
Równania liniowe rozwiązujemy, przenosząc niewiadome na jedną stronę równania, a liczby na drugą stronę. Pamiętaj, że przenosząc wyraz na drugą stronę równania, zmieniamy jego znak.
Przykład: Rozwiąż równanie 3x - 2 = x + 4. Przenosimy x na lewą stronę, a -2 na prawą stronę. Otrzymujemy 3x - x = 4 + 2. Upraszczamy: 2x = 6. Dzielimy obie strony przez 2: x = 3.
Mam nadzieję, że to powtórzenie było pomocne! Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza. Rozwiązuj jak najwięcej zadań, aby utrwalić swoją wiedzę.
