Zacznijmy naszą podróż po matematyce z podręcznikiem "Matematyka 1 Zakres Podstawowy" dla liceum i technikum.
Liczby rzeczywiste
Na samym początku spotykamy się z liczbami rzeczywistymi. To wszystkie liczby, które znamy z życia codziennego.
Zaczynamy od liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4... Używamy ich do liczenia przedmiotów.
Potem pojawiają się liczby całkowite: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... Zawierają liczby naturalne, zero i liczby ujemne.
Następnie mamy liczby wymierne. To liczby, które można zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q jest różne od zera. Na przykład 1/2, 3/4, -5/7.
Liczby niewymierne to liczby, których nie można zapisać w postaci ułamka. Przykładem jest pierwiastek kwadratowy z 2 (√2) lub liczba pi (π).
Wszystkie te liczby razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych.
Działania na liczbach rzeczywistych
Wykonujemy działania takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.
Pamiętajmy o kolejności wykonywania działań: najpierw nawiasy, potem potęgowanie i pierwiastkowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład: 2 + 3 * 4 = 2 + 12 = 14. Najpierw mnożymy 3 przez 4, a potem dodajemy 2.
Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne to połączenie liczb, liter (zmiennych) i znaków działań.
Przykład: 3x + 2y - 5. x i y to zmienne, a 3 i 2 to współczynniki.
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych
Możemy upraszczać wyrażenia algebraiczne, redukując wyrazy podobne. Wyrazy podobne to te, które mają te same zmienne w tej samej potędze.
Przykład: 2x + 3x - y + 4y = 5x + 3y. Zredukowaliśmy wyrazy z x i wyrazy z y.
Możemy też mnożyć wyrażenia algebraiczne przez siebie, korzystając z prawa rozdzielności.
Przykład: 2(x + 3) = 2x + 6. Każdy element w nawiasie mnożymy przez 2.
Równania i nierówności
Równanie to stwierdzenie, że dwa wyrażenia są sobie równe. Rozwiązaniem równania jest wartość zmiennej, dla której równanie jest prawdziwe.
Przykład: x + 5 = 8. Aby rozwiązać to równanie, odejmujemy 5 od obu stron: x = 3.
Nierówność to stwierdzenie, że jedno wyrażenie jest większe, mniejsze, większe lub równe, albo mniejsze lub równe od drugiego. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór wartości zmiennej, dla których nierówność jest prawdziwa.
Przykład: x - 2 > 4. Dodajemy 2 do obu stron: x > 6. Rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb większych od 6.
Rodzaje równań
Spotykamy się z różnymi rodzajami równań, np. liniowe, kwadratowe, wymierne.
Równanie liniowe to równanie, w którym zmienna występuje w pierwszej potędze. Rozwiązuje się je przez przekształcenia algebraiczne, aby wyznaczyć wartość zmiennej.
Równanie kwadratowe to równanie postaci ax2 + bx + c = 0. Rozwiązuje się je za pomocą wzoru na deltę (Δ) i pierwiastki.
Funkcje
Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X (dziedziny) przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y (przeciwdziedziny).
Funkcję możemy przedstawić za pomocą wzoru, tabeli, wykresu lub opisu słownego.
Przykład: f(x) = 2x + 1. Dla każdego x, funkcja przyporządkowuje wartość 2x + 1.
Rodzaje funkcji
Istnieje wiele rodzajów funkcji, np. liniowe, kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne.
Funkcja liniowa to funkcja postaci f(x) = ax + b, gdzie a i b to stałe. Jej wykresem jest linia prosta.
Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c to stałe, a a jest różne od zera. Jej wykresem jest parabola.
Własności funkcji
Analizujemy własności funkcji, takie jak dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność (rosnąca, malejąca, stała), ekstrema (maksimum, minimum).
Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów (x), dla których funkcja jest określona.
Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich wartości (y), które funkcja przyjmuje.
Miejsce zerowe funkcji to argument (x), dla którego wartość funkcji wynosi zero (f(x) = 0).
Geometria płaska
W geometrii płaskiej zajmujemy się figurami, które leżą na płaszczyźnie, np. trójkąty, kwadraty, koła.
Trójkąty
Trójkąt to figura geometryczna, która ma trzy boki i trzy kąty.
Suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni.
Rozróżniamy różne rodzaje trójkątów, np. równoboczny (wszystkie boki równe), równoramienny (dwa boki równe), prostokątny (jeden kąt prosty).
Czworokąty
Czworokąt to figura geometryczna, która ma cztery boki i cztery kąty.
Suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni.
Rozróżniamy różne rodzaje czworokątów, np. kwadrat, prostokąt, równoległobok, trapez.
Koła i okręgi
Okrąg to zbiór punktów na płaszczyźnie, które są równoodległe od danego punktu (środka okręgu).
Koło to obszar ograniczony okręgiem.
Długość okręgu (obwód) wynosi 2πr, gdzie r to promień okręgu.
Pole koła wynosi πr2.
Te podstawowe zagadnienia to dobry start do nauki matematyki w liceum i technikum. "Matematyka 1 Zakres Podstawowy" to świetny przewodnik w tej podróży.
