Witajcie przyszli specjaliści! Przygotowujemy się do egzaminu z Matematyki 4 dla Odbornego Uczilišče. Zrobimy to razem! Pokażę Wam, jak skutecznie powtórzyć materiał.
Liczby Zespolone
Zacznijmy od liczb zespolonych. Brzmi strasznie? Spokojnie, damy radę!
Definicja i Postać
Liczba zespolona to liczba w postaci a + bi.
a to część rzeczywista. Oznaczamy ją jako Re(z).
b to część urojona. Oznaczamy ją jako Im(z).
i to jednostka urojona. Pamiętaj, że i2 = -1.
Postać algebraiczna liczby zespolonej to właśnie a + bi.
Postać trygonometryczna to |z|(cos φ + i sin φ). Gdzie |z| to moduł liczby zespolonej, a φ to argument.
Działania na Liczbach Zespolonych
Dodawanie i odejmowanie wykonujemy na częściach rzeczywistych i urojonych oddzielnie. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Mnożenie robimy jak na zwykłych wyrażeniach algebraicznych, pamiętając o i2 = -1.
Dzielenie – mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Sprzężenie liczby a + bi to a - bi.
Moduł i Argument
Moduł liczby zespolonej |z| to odległość liczby od zera na płaszczyźnie zespolonej. Obliczamy go ze wzoru: |z| = √(a2 + b2).
Argument liczby zespolonej φ to kąt między osią rzeczywistą a wektorem reprezentującym liczbę na płaszczyźnie. Obliczamy go z zależności trygonometrycznych.
Wzór de Moivre'a
Wzór de Moivre'a: (cos φ + i sin φ)n = cos(nφ) + i sin(nφ). Przydatny do potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.
Macierze
Teraz przejdziemy do macierzy. To tablice liczb, ale z własnymi zasadami.
Definicje i Rodzaje
Macierz to prostokątna tablica liczb. Oznaczamy ją dużymi literami, np. A.
Wymiar macierzy to liczba wierszy i kolumn. Macierz o m wierszach i n kolumnach ma wymiar m x n.
Macierz kwadratowa to macierz, w której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.
Macierz jednostkowa (I) to macierz kwadratowa, która ma jedynki na głównej przekątnej, a pozostałe elementy są zerami.
Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są zerami.
Działania na Macierzach
Dodawanie i odejmowanie – możemy dodawać i odejmować tylko macierze o takim samym wymiarze. Dodajemy/odejmujemy odpowiednie elementy.
Mnożenie przez skalar – mnożymy każdy element macierzy przez ten skalar.
Mnożenie macierzy – macierz A (m x n) można pomnożyć przez macierz B (n x p). Wynikiem jest macierz C (m x p). Element Cij to suma iloczynów elementów i-tego wiersza A i j-tej kolumny B.
Wyznacznik Macierzy
Wyznacznik – funkcja przypisująca macierzy kwadratowej liczbę. Oznaczamy jako det(A) lub |A|.
Dla macierzy 2x2: det(A) = a11a22 - a12a21.
Dla macierzy 3x3: Można użyć metody Sarrusa.
Dla macierzy większych wymiarów: Rozwinięcie Laplace'a.
Macierz Odwrotna
Macierz odwrotna do A (oznaczana A-1) to macierz, która pomnożona przez A daje macierz jednostkową: A * A-1 = I.
A-1 = (1/det(A)) * adj(A), gdzie adj(A) to macierz dołączona.
Układy Równań Liniowych
Przechodzimy do układów równań liniowych. To zestaw równań, które rozwiązujemy jednocześnie.
Metody Rozwiązywania
Metoda podstawiania – wyznaczamy jedną zmienną z jednego równania i wstawiamy ją do pozostałych.
Metoda przeciwnych współczynników – mnożymy równania przez takie liczby, aby przy jednej zmiennej otrzymać przeciwne współczynniki, a następnie dodajemy równania stronami.
Metoda macierzowa – zapisujemy układ w postaci macierzowej (A * X = B) i rozwiązujemy: X = A-1 * B.
Wzory Cramera – rozwiązujemy układ, korzystając z wyznaczników macierzy.
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego – układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.
Funkcje
Na koniec przypomnimy sobie wiadomości na temat funkcji.
Definicja i Własności
Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru X (dziedziny) przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y (przeciwdziedziny).
Dziedzina (D) to zbiór argumentów, dla których funkcja jest określona.
Zbiór wartości (ZW) to zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje.
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero.
Monotoniczność – funkcja może być rosnąca, malejąca, stała lub niemalejąca/nierosnąca.
Parzystość/nieparzystość – funkcja parzysta: f(-x) = f(x), funkcja nieparzysta: f(-x) = -f(x).
Funkcje Elementarne
Funkcja liniowa: f(x) = ax + b.
Funkcja kwadratowa: f(x) = ax2 + bx + c.
Funkcja wykładnicza: f(x) = ax.
Funkcja logarytmiczna: f(x) = loga(x).
Funkcje trygonometryczne: sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x).
Podsumowanie
Pamiętaj! Znamy definicje i własności liczb zespolonych, macierzy, układów równań liniowych i funkcji.
Nauczyliśmy się wykonywać działania na liczbach zespolonych i macierzach.
Wiemy, jak rozwiązywać układy równań liniowych różnymi metodami.
Rozumiemy pojęcie dziedziny, zbioru wartości, monotoniczności i parzystości funkcji.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Was!
