Logarytmy Zadania 1 Liceum Pdf

Hej! Gotowi na logarytmy? Spokojnie, damy radę!

Wprowadzenie do logarytmów

Czym jest logarytm? To po prostu pytanie: do jakiej potęgi podnieść liczbę (podstawę), aby otrzymać inną liczbę?

Mamy postać log_a(b) = c. Oznacza to, że a^c = b.

a to podstawa logarytmu. b to liczba logarytmowana. c to wynik logarytmu.

Pamiętaj: podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1. Liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Przykłady na początek

log₂(8) = 3 bo 2³ = 8.

log₁₀(100) = 2 bo 10² = 100. Logarytm o podstawie 10 to logarytm dziesiętny, zapisywany jako log(x).

log₃(1/9) = -2 bo 3^-2 = 1/9.

Własności logarytmów

Znajomość własności logarytmów to klucz do rozwiązywania zadań. Zapamiętaj je dobrze!

• log_a(1) = 0 bo a⁰ = 1.
• log_a(a) = 1 bo a¹ = a.
• log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y) (logarytm iloczynu).
• log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y) (logarytm ilorazu).
• log_a(xⁿ) = n * log_a(x) (logarytm potęgi).
• log_a(b) = log_c(b) / log_c(a) (wzór na zamianę podstawy logarytmu).

Te własności pozwalają uprościć wyrażenia i rozwiązywać równania.

Ćwiczenia z własnościami

Uprość: log₂(4 * 8).

Rozwiązanie: log₂(4 * 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Uprość: log₅(25³).

Rozwiązanie: log₅(25³) = 3 * log₅(25) = 3 * 2 = 6.

Uprość: log₃(9/27).

Rozwiązanie: log₃(9/27) = log₃(9) - log₃(27) = 2 - 3 = -1.

Równania logarytmiczne

Równania logarytmiczne to równania, w których niewiadoma występuje w liczbie logarytmowanej lub w podstawie logarytmu.

Najważniejsze: pamiętaj o dziedzinie! Liczba logarytmowana musi być dodatnia, a podstawa dodatnia i różna od 1.

Przykład: log₂(x) = 3.

Rozwiązanie: x = 2³ = 8. Sprawdzamy: x > 0, więc rozwiązanie jest poprawne.

Przykład: log_x(9) = 2.

Rozwiązanie: x² = 9, więc x = 3 lub x = -3. Ale x musi być dodatnie i różne od 1, więc x = 3.

Przykład: log(x + 1) = 1.

Rozwiązanie: x + 1 = 10¹ = 10, więc x = 9. Sprawdzamy: x + 1 > 0, czyli 9 + 1 > 0, więc rozwiązanie jest poprawne.

Bardziej skomplikowane równania

Czasem trzeba użyć własności logarytmów, aby uprościć równanie.

Przykład: log₂(x) + log₂(x + 2) = 3.

Rozwiązanie: log₂(x * (x + 2)) = 3. Zatem x * (x + 2) = 2³ = 8. Mamy równanie kwadratowe: x² + 2x - 8 = 0. Rozwiązania to x = 2 i x = -4. Sprawdzamy dziedzinę: x > 0 i x + 2 > 0. Zatem tylko x = 2 jest rozwiązaniem.

Nierówności logarytmiczne

Nierówności logarytmiczne rozwiązuje się podobnie jak równania, ale trzeba uważać na podstawę logarytmu.

Jeśli podstawa jest większa od 1, to funkcja logarytmiczna jest rosnąca. Jeśli podstawa jest między 0 a 1, to funkcja jest malejąca.

Przykład: log₂(x) > 3.

Rozwiązanie: x > 2³ = 8. Dodatkowo, x > 0 (dziedzina). Zatem x > 8.

Przykład: log_1/2(x) > 3.

Rozwiązanie: x < (1/2)³ = 1/8. Dodatkowo, x > 0 (dziedzina). Zatem 0 < x < 1/8. Zauważ, że zmienił się znak nierówności, bo podstawa jest mniejsza od 1.

Przykład: log₃(x + 1) < 2.

Rozwiązanie: x + 1 < 3² = 9, więc x < 8. Dodatkowo, x + 1 > 0, więc x > -1. Zatem -1 < x < 8.

Zadania tekstowe

Logarytmy pojawiają się też w zadaniach tekstowych, na przykład związanych z oprocentowaniem bankowym lub zjawiskami fizycznymi.

Czytaj uważnie treść zadania i spróbuj zapisać równanie lub nierówność logarytmiczną, która opisuje sytuację.

Pamiętaj o interpretacji wyniku w kontekście zadania!

Podsumowanie

Podsumowując:

• Logarytm to potęga, do której trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę logarytmowaną.
• Znaj własności logarytmów (iloczynu, ilorazu, potęgi, zamiany podstawy).
• Rozwiązując równania i nierówności logarytmiczne, pamiętaj o dziedzinie.
• Jeśli podstawa jest mniejsza od 1, zmień znak nierówności.

Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza!