Hej! Zaczynamy przygodę z równaniami. Dziś skupimy się na sytuacjach, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania. Konkretnie, liczby X1 i X2.
Wyobraź sobie, że masz równanie. To jak waga.
Po jednej stronie wagi masz wyrażenie z "x", a po drugiej jakąś liczbę.
Twoim celem jest znalezienie takiej wartości "x", żeby waga była w równowadze.
Równanie Kwadratowe - Nasz Przykład
Najczęściej, kiedy mówimy o dwóch różnych rozwiązaniach, mamy na myśli równanie kwadratowe.
Równanie kwadratowe wygląda mniej więcej tak: ax² + bx + c = 0. Brzmi strasznie?
Spokojnie, zaraz to rozłożymy na czynniki pierwsze!
Wyobraź sobie, że "a", "b" i "c" to po prostu jakieś liczby. Na przykład, równanie może wyglądać tak: x² - 5x + 6 = 0.
To jak szukanie skarbu. Musimy znaleźć takie "x", które, wstawione do tego równania, da nam zero.
Co to Znaczy Dwa Różne Rozwiązania?
Dwa różne rozwiązania, czyli X1 i X2, oznaczają, że istnieją dwie różne liczby, które pasują do tego równania.
Wracając do naszego przykładu: x² - 5x + 6 = 0. Okazuje się, że pasują tu dwie liczby: X1 = 2 i X2 = 3.
Sprawdźmy to! Wstawiamy 2 za x: 2² - 5*2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. Bingo!
Teraz wstawiamy 3 za x: 3² - 5*3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. Znowu bingo!
Widzisz? Zarówno 2 jak i 3 spełniają to równanie. Dlatego są to dwa różne rozwiązania.
Jak Znaleźć Te Rozwiązania?
Istnieje kilka sposobów. Jednym z nich jest rozkład na czynniki.
W naszym przykładzie, równanie x² - 5x + 6 = 0 możemy zapisać jako (x - 2)(x - 3) = 0.
Pomyśl o tym jak o dwóch pudełkach. Jeśli pomnożysz zawartość tych pudełek i wynik to zero, to znaczy, że albo w pierwszym pudełku jest zero, albo w drugim, albo w obu!
Czyli, albo (x - 2) = 0, albo (x - 3) = 0.
Jeśli (x - 2) = 0, to x = 2. Nasze X1.
Jeśli (x - 3) = 0, to x = 3. Nasze X2.
Innym sposobem jest użycie wzoru na deltę. Brzmi skomplikowanie, ale jest to tylko wzór, który pozwala nam wyliczyć rozwiązania równania kwadratowego.
Delta to: Δ = b² - 4ac. Pamiętasz a, b i c z równania ax² + bx + c = 0?
Jeśli delta jest większa od zera (Δ > 0), to równanie ma dwa różne rozwiązania.
Jeśli delta jest równa zero (Δ = 0), to równanie ma jedno rozwiązanie (często mówimy o dwóch identycznych rozwiązaniach).
Jeśli delta jest mniejsza od zera (Δ < 0), to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych (ma rozwiązania zespolone, ale to już inna historia).
A same rozwiązania, X1 i X2, wyliczamy ze wzorów:
X1 = (-b - √Δ) / 2a
X2 = (-b + √Δ) / 2a
Uff! Dużo wzorów. Ale najważniejsze to zrozumieć, że X1 i X2 to po prostu dwie różne liczby, które pasują do naszego równania.
Przykład z Życia
Wyobraź sobie, że rzucasz piłką do góry. Tor lotu piłki opisuje równanie kwadratowe.
X1 to moment, kiedy piłka została wyrzucona (czas = 0).
X2 to moment, kiedy piłka spadła na ziemię.
Dwa różne momenty w czasie, w których piłka znajduje się na wysokości zero (ziemia).
Pamiętaj!
Równanie kwadratowe może mieć dwa różne rozwiązania, jedno rozwiązanie (podwójne) lub żadnych rozwiązań rzeczywistych.
Dwa różne rozwiązania, X1 i X2, oznaczają, że istnieją dwie różne liczby, które spełniają to równanie.
Używaj rozkładu na czynniki lub wzoru na deltę, aby znaleźć te rozwiązania.
Powodzenia w rozwiązywaniu równań!
