Dzisiaj porozmawiamy o liczbach i działaniach, tematach kluczowych dla klasy 7. Zrozumienie tych zagadnień jest fundamentem dla dalszej nauki matematyki. Przygotuj się na powtórkę materiału, która pomoże Ci zdać sprawdzian.
Liczby Całkowite
Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne (0, 1, 2, 3...), ich liczby przeciwne (-1, -2, -3...) oraz zero. Oznaczamy je symbolem Z. Na osi liczbowej liczby całkowite są rozmieszczone w równych odstępach po obu stronach zera.
Możemy wykonywać na nich różne działania. Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych to podstawy. Ważne jest, aby pamiętać o znakach liczb. Na przykład: 5 + (-3) = 2, a -5 + 3 = -2. Uważaj na podwójne minusy, bo -(-2) = 2.
Mnożenie i Dzielenie Liczb Całkowitych
Przy mnożeniu i dzieleniu liczb całkowitych istotna jest zasada znaków. Plus razy plus daje plus (+ * + = +). Minus razy minus daje plus (- * - = +). Natomiast plus razy minus daje minus (+ * - = -), a minus razy plus daje minus (- * + = -). Podobnie działa to dla dzielenia.
Przykład: -3 * 4 = -12. Natomiast -15 : (-3) = 5. Zwróć uwagę na to, że wynik dzielenia przez zero jest nieokreślony. Nie dzielimy przez zero!
Ułamki Zwykłe i Dziesiętne
Ułamek zwykły to liczba postaci a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest różne od zera. Liczba a nazywana jest licznikiem, a liczba b mianownikiem. Ułamek przedstawia część całości.
Ułamek dziesiętny to ułamek, którego mianownik jest potęgą liczby 10 (np. 10, 100, 1000). Możemy go zapisać za pomocą przecinka, np. 0,5 (czyli 5/10) lub 1,25 (czyli 1 i 25/100).
Działania na Ułamkach
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych wymaga sprowadzenia ich do wspólnego mianownika. To znaczy, że musimy znaleźć taką liczbę, która jest podzielna przez oba mianowniki. Następnie rozszerzamy ułamki tak, aby miały ten wspólny mianownik. Dopiero wtedy możemy dodać lub odjąć liczniki.
Przykład: 1/2 + 1/3. Wspólnym mianownikiem dla 2 i 3 jest 6. Zatem 1/2 = 3/6, a 1/3 = 2/6. Więc 3/6 + 2/6 = 5/6.
Mnożenie ułamków zwykłych jest proste. Mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Przy dzieleniu ułamków zwykłych mnożymy pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego. Odwrotność ułamka a/b to b/a.
Działania na ułamkach dziesiętnych wykonujemy podobnie jak na liczbach całkowitych. Przy dodawaniu i odejmowaniu ważne jest, aby przecinki były jeden pod drugim. Przy mnożeniu mnożymy tak jak liczby całkowite, a następnie przesuwamy przecinek o tyle miejsc w lewo, ile łącznie było miejsc po przecinku w obu mnożonych liczbach. Przy dzieleniu możemy przesunąć przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc w prawo, aby dzielnik był liczbą całkowitą.
Potęgi
Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. an oznacza, że liczbę a mnożymy przez siebie n razy. Liczba a nazywana jest podstawą potęgi, a liczba n wykładnikiem potęgi.
Na przykład: 23 = 2 * 2 * 2 = 8. 52 = 5 * 5 = 25.
Działania na Potęgach
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: am * an = am+n. Na przykład: 22 * 23 = 25 = 32.
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki: am : an = am-n. Na przykład: 35 : 32 = 33 = 27.
Potęga potęgi: (am)n = am*n. Na przykład: (22)3 = 26 = 64.
Pamiętaj: każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1 (a0 = 1, dla a ≠ 0). I każda liczba podniesiona do potęgi 1 daje samą siebie (a1 = a).
Pierwiastki
Pierwiastek kwadratowy z liczby a to taka liczba b, która podniesiona do kwadratu daje a. Oznaczamy to symbolem √a. Na przykład: √9 = 3, bo 32 = 9.
Pierwiastek sześcienny z liczby a to taka liczba b, która podniesiona do sześcianu daje a. Oznaczamy to symbolem 3√a. Na przykład: 3√8 = 2, bo 23 = 8.
Działania na Pierwiastkach
Możemy mnożyć pierwiastki tego samego stopnia: √a * √b = √(a * b). Na przykład: √4 * √9 = √(4 * 9) = √36 = 6.
Możemy dzielić pierwiastki tego samego stopnia: √a / √b = √(a / b). Na przykład: √100 / √4 = √(100 / 4) = √25 = 5.
Kolejność Wykonywania Działań
Aby poprawnie obliczyć wartość wyrażenia, musimy przestrzegać kolejności wykonywania działań. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach. Następnie potęgowanie i pierwiastkowanie. Potem mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej). Na końcu dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej).
Przykład: 2 + 3 * 4 = 2 + 12 = 14. Natomiast (2 + 3) * 4 = 5 * 4 = 20.
Zapamiętaj kolejność: Nawiasy, Potęgi i Pierwiastki, Mnożenie i Dzielenie, Dodawanie i Odejmowanie. Pomocny może być akronim: NPDMO.
Pamiętaj o systematycznej nauce i rozwiązywaniu zadań. Powodzenia na sprawdzianie!
