Klasa 5 Wlasnosci Liczb Naturalnych

Written by Margaret Weigel
Updated at: 14 June 2025

Witajcie drodzy uczniowie klasy 5! Przygotowujemy się do sprawdzianu z własności liczb naturalnych. Pomożemy Wam usystematyzować wiedzę. Razem damy radę!

Dzielniki i Wielokrotności

Zacznijmy od podstaw. Co to są dzielniki? Dzielnik liczby to liczba, przez którą dana liczba dzieli się bez reszty. Na przykład, dzielniki liczby 6 to 1, 2, 3 i 6.

Jak je znaleźć? Musimy sprawdzić, przez jakie liczby naturalne dana liczba się dzieli.

Teraz wielokrotności. Wielokrotność liczby to wynik mnożenia tej liczby przez dowolną liczbę naturalną. Na przykład, wielokrotności liczby 3 to 3, 6, 9, 12, itd.

Wielokrotności możemy wyznaczyć, mnożąc daną liczbę przez kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, ...).

Przykłady:

Liczba 12:

Dzielniki: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Wielokrotności: 12, 24, 36, 48, ...

Liczba 7:

Dzielniki: 1, 7
Wielokrotności: 7, 14, 21, 28, ...

Cechy podzielności

Cechy podzielności to bardzo przydatne reguły. Pozwalają szybko sprawdzić, czy liczba dzieli się przez inną, bez wykonywania dzielenia pisemnego.

Podzielność przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8. Mówimy wtedy, że liczba jest parzysta.

Podzielność przez 5: Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.

Podzielność przez 10: Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfra to 0.

Podzielność przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Podzielność przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Przykłady:

Liczba 126:

Podzielna przez 2 (ostatnia cyfra to 6)
Podzielna przez 3 (1 + 2 + 6 = 9, a 9 jest podzielne przez 3)
Podzielna przez 9 (1 + 2 + 6 = 9, a 9 jest podzielne przez 9)

Liczba 345:

Podzielna przez 5 (ostatnia cyfra to 5)
Podzielna przez 3 (3 + 4 + 5 = 12, a 12 jest podzielne przez 3)

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Na przykład, 2, 3, 5, 7, 11, 13 to liczby pierwsze.

Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki. Na przykład, 4, 6, 8, 9, 10 to liczby złożone.

Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?

Musimy sprawdzić, czy dzieli się przez jakąkolwiek liczbę pierwszą mniejszą od niej samej. W praktyce sprawdzamy podzielność tylko do pierwiastka kwadratowego danej liczby.

Przykład: Czy 17 jest liczbą pierwszą? Sprawdzamy podzielność przez 2, 3, 5, 7, 11, 13. Nie dzieli się przez żadną z nich, więc 17 jest liczbą pierwszą.

Rozkład liczb na czynniki pierwsze

Rozkład liczby na czynniki pierwsze to zapisanie liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Każda liczba złożona może być rozłożona na czynniki pierwsze w sposób jednoznaczny (z dokładnością do kolejności czynników).

Przykład:

Rozkład liczby 36 na czynniki pierwsze:

36 : 2 = 18
18 : 2 = 9
9 : 3 = 3
3 : 3 = 1

Zatem 36 = 2 * 2 * 3 * 3 = 2² * 3²

Największy Wspólny Dzielnik (NWD) i Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW)

Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch liczb to największa liczba, która jest dzielnikiem obu tych liczb. Oznacza to, że obie liczby dzielą się przez NWD bez reszty.

Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW) dwóch liczb to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością obu tych liczb. Oznacza to, że NWW dzieli się przez obie liczby bez reszty.

Jak obliczyć NWD i NWW?

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
NWD: Wybieramy wspólne czynniki pierwsze z najmniejszymi potęgami i mnożymy je.
NWW: Wybieramy wszystkie czynniki pierwsze (wspólne i różne) z największymi potęgami i mnożymy je.