Witajcie, młodzi matematycy! Przygotujmy się razem do sprawdzianu z Własności Liczb Naturalnych. Nie martwcie się, wszystko dokładnie omówimy.
Dzielniki i Wielokrotności
Co to są dzielniki? To liczby, przez które dana liczba dzieli się bez reszty.
Na przykład, dzielniki liczby 12 to: 1, 2, 3, 4, 6 i 12.
A co z wielokrotnościami? To liczby, które otrzymujemy mnożąc daną liczbę przez kolejne liczby naturalne.
Na przykład, wielokrotności liczby 3 to: 3, 6, 9, 12, 15, i tak dalej.
Jak znaleźć dzielniki liczby?
Szukamy po kolei, zaczynając od 1.
Sprawdzamy, czy dana liczba dzieli się przez 1, 2, 3, itd. aż do pierwiastka kwadratowego z tej liczby (lub liczby do niej zbliżonej).
Jeśli a jest dzielnikiem b, to b/a też jest dzielnikiem b.
Przykład: Dzielniki liczby 36. Sprawdzamy: 1, 2, 3, 4, 6. Mamy: 36/1=36, 36/2=18, 36/3=12, 36/4=9, 36/6=6. Dzielniki to: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Jak znaleźć wielokrotności liczby?
Mnożymy daną liczbę przez 1, 2, 3, 4, ...
Przykład: Wielokrotności liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, ...
Liczby Pierwsze i Złożone
Liczba pierwsza – to liczba naturalna większa od 1, która ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
Przykłady: 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Liczba złożona – to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki.
Przykłady: 4, 6, 8, 9, 10, 12...
Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?
Sprawdzamy, czy dzieli się przez liczby pierwsze mniejsze od jej pierwiastka kwadratowego.
Jeśli nie dzieli się przez żadną z nich, to jest pierwsza.
Przykład: Czy 31 jest liczbą pierwszą? Pierwiastek kwadratowy z 31 to około 5.5. Sprawdzamy dzielenie przez 2, 3, 5. Nie dzieli się. Zatem 31 jest liczbą pierwszą.
Cechy Podzielności
Pamiętajmy o cechach podzielności. Bardzo ułatwiają życie!
Podzielność przez 2
Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta (0, 2, 4, 6, 8).
Przykład: 124 jest podzielne przez 2, a 125 nie.
Podzielność przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Przykład: 123 (1+2+3=6, a 6 dzieli się przez 3), więc 123 jest podzielne przez 3.
Podzielność przez 4
Liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.
Przykład: 216 (16 dzieli się przez 4), więc 216 jest podzielne przez 4.
Podzielność przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5.
Przykład: 120 i 125 są podzielne przez 5.
Podzielność przez 9
Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: 819 (8+1+9=18, a 18 dzieli się przez 9), więc 819 jest podzielne przez 9.
Podzielność przez 10
Liczba jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnia cyfra to 0.
Przykład: 150 jest podzielne przez 10.
Rozkład Liczby na Czynniki Pierwsze
Każdą liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych.
Przykład: 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3.
Jak to robimy? Dzielimy liczbę przez najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą się dzieli. Potem dzielimy wynik przez najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą się dzieli, i tak dalej, aż otrzymamy 1.
Przykład: Rozkład liczby 60. 60 / 2 = 30 30 / 2 = 15 15 / 3 = 5 5 / 5 = 1 Zatem 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5.
Największy Wspólny Dzielnik (NWD)
Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch lub więcej liczb to największa liczba, która jest dzielnikiem każdej z tych liczb.
Jak go znaleźć? Możemy wypisać wszystkie dzielniki każdej liczby i wybrać największy wspólny. Albo użyć rozkładu na czynniki pierwsze.
Przykład: NWD(12, 18). Dzielniki 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Dzielniki 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. NWD(12, 18) = 6.
Metoda z rozkładem na czynniki pierwsze: 12 = 22 x 3. 18 = 2 x 32. Wybieramy najmniejsze potęgi wspólnych czynników pierwszych: 21 x 31 = 2 x 3 = 6. NWD(12, 18) = 6.
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW)
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW) dwóch lub więcej liczb to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością każdej z tych liczb.
Jak ją znaleźć? Możemy wypisać wielokrotności każdej liczby i wybrać najmniejszą wspólną. Albo użyć rozkładu na czynniki pierwsze.
Przykład: NWW(4, 6). Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24... Wielokrotności 6: 6, 12, 18, 24, 30... NWW(4, 6) = 12.
Metoda z rozkładem na czynniki pierwsze: 4 = 22. 6 = 2 x 3. Wybieramy największe potęgi wszystkich czynników pierwszych: 22 x 31 = 4 x 3 = 12. NWW(4, 6) = 12.
Podsumowanie
Dzielniki to liczby, przez które dana liczba dzieli się bez reszty.
Wielokrotności to liczby, które otrzymujemy mnożąc daną liczbę przez kolejne liczby naturalne.
Liczba pierwsza ma tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki.
Pamiętaj o cechach podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9 i 10.
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze.
NWD to największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej liczb.
NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb.
Powodzenia na sprawdzianie! Jesteście świetni!
