Kat Rozwarcia Stozka Ma Miare 120

Hej Studenci! Przygotowujemy się do egzaminu z geometrii. Skupimy się na ważnym temacie: Kącie Rozwarcia Stożka.

Kąt Rozwarcia Stożka: Definicja

Kąt rozwarcia stożka to kąt utworzony przez dwie tworzące stożka. Te tworzące wychodzą z wierzchołka stożka. Mierzymy go w przekroju osiowym stożka.

Wyobraź sobie, że przecinasz stożek na pół. Widzisz trójkąt równoramienny? Kąt między ramionami tego trójkąta to właśnie kąt rozwarcia.

Kąt Rozwarcia: Miara 120 stopni

Zajmiemy się przypadkiem, gdy kąt rozwarcia stożka wynosi 120 stopni. Czyli α = 120°.

To oznacza, że nasz trójkąt równoramienny ma kąt między ramionami równy 120 stopni.

Zależności w Stożku o Kącie Rozwarcia 120 stopni

Spójrzmy, co to implikuje.

Promień Podstawy i Tworząca

Podzielmy trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Zauważ, że kąt przy wierzchołku każdego z tych trójkątów wynosi 60 stopni (połowa kąta rozwarcia).

Użyjemy funkcji trygonometrycznych. Mamy sin(60°) = r/l, gdzie r to promień podstawy, a l to tworząca stożka.

Pamiętasz, że sin(60°) = √3/2? Stąd, r/l = √3/2. Czyli r = (√3/2)l.

Promień podstawy stożka jest równy (√3/2) razy długość tworzącej. To bardzo ważna zależność!

Wysokość Stożka

Obliczmy teraz wysokość stożka (h). W trójkącie prostokątnym możemy użyć cosinusa.

cos(60°) = h/l. Wiemy, że cos(60°) = 1/2. Więc h/l = 1/2. Zatem h = l/2.

Wysokość stożka jest równa połowie długości tworzącej. Pamiętaj o tym!

Pole Powierzchni Bocznej

Pole powierzchni bocznej stożka to πrl. Podstawiamy r = (√3/2)l.

Pole boczne = π * (√3/2)l * l = (√3/2)πl².

Zatem, jeśli znasz tworzącą, możesz łatwo obliczyć pole powierzchni bocznej.

Pole Powierzchni Całkowitej

Pole powierzchni całkowitej stożka to suma pola powierzchni bocznej i pola podstawy. Czyli πrl + πr².

Podstawiamy r = (√3/2)l. Mamy π(√3/2)l*l + π((√3/2)l)².

Po uproszczeniu: (√3/2)πl² + (3/4)πl² = ((2√3 + 3)/4)πl².

Objętość Stożka

Objętość stożka to (1/3)πr²h. Podstawiamy r = (√3/2)l i h = l/2.

Mamy (1/3)π((√3/2)l)²(l/2) = (1/3)π(3/4)l²(l/2) = (1/8)πl³.

Objętość stożka zależy od sześcianu długości tworzącej.

Przykładowe Zadanie

Załóżmy, że tworząca stożka (l) ma długość 6 cm, a kąt rozwarcia to 120 stopni. Oblicz promień podstawy, wysokość i objętość.

Rozwiązanie:

r = (√3/2)l = (√3/2) * 6 = 3√3 cm

h = l/2 = 6/2 = 3 cm

V = (1/8)πl³ = (1/8)π * 6³ = (1/8)π * 216 = 27π cm³

Kluczowe Punkty

Pamiętaj:

• Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi.
• Jeśli kąt rozwarcia wynosi 120 stopni: r = (√3/2)l oraz h = l/2.
• Znajomość tych zależności ułatwia obliczanie pola powierzchni i objętości.

Porady Egzaminacyjne

Zawsze rysuj rysunek. To pomaga zrozumieć zadanie.

Pamiętaj o jednostkach. Bądź dokładny.

Sprawdź swoje obliczenia. Unikaj błędów.

Nie stresuj się! Dasz radę!

Mam nadzieję, że ten przewodnik Ci pomoże! Powodzenia na egzaminie!