Hej! Gotowi na sprawdzian z Języka Matematyki? Spokojnie, damy radę! Ten przewodnik pomoże Wam usystematyzować wiedzę i poczuć się pewniej.
Dział 1: Zbiory
Co to jest zbiór?
Zbiór to po prostu grupa elementów. Mogą to być liczby, litery, cokolwiek!
Zbiory oznaczamy dużymi literami: A, B, C.
Elementy zbioru zapisujemy w nawiasach klamrowych: {1, 2, 3}.
Jak zapisywać zbiory?
Możemy wymieniać wszystkie elementy: A = {a, b, c}.
Albo opisywać je cechą wspólną: B = {x: x jest liczbą parzystą mniejszą od 10}.
Relacje między zbiorami
Należenie do zbioru: a ∈ A (a należy do zbioru A).
Nie należy do zbioru: b ∉ A (b nie należy do zbioru A).
Zbiór pusty: ∅ (nie zawiera żadnych elementów).
Podzbiór: A ⊆ B (każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B).
Równość zbiorów: A = B (A ⊆ B i B ⊆ A).
Działania na zbiorach
Suma zbiorów (A ∪ B): zawiera wszystkie elementy z A i z B.
Iloczyn zbiorów (A ∩ B): zawiera tylko elementy, które są w A i w B.
Różnica zbiorów (A \ B): zawiera elementy, które są w A, ale nie ma ich w B.
Dopełnienie zbioru (A'): zawiera wszystkie elementy, które nie należą do A (w odniesieniu do ustalonej przestrzeni).
Dział 2: Logika
Zdania logiczne
Zdanie logiczne to wypowiedź, która jest albo prawdziwa (1), albo fałszywa (0).
Przykłady: "Dziś jest poniedziałek." "2 + 2 = 4."
Spójniki logiczne
Koniunkcja (∧): "i" (p ∧ q) - prawdziwa tylko, gdy oba zdania są prawdziwe.
Alternatywa (∨): "lub" (p ∨ q) - fałszywa tylko, gdy oba zdania są fałszywe.
Implikacja (→): "jeżeli... to..." (p → q) - fałszywa tylko, gdy p jest prawdziwe, a q fałszywe.
Równoważność (↔): "wtedy i tylko wtedy, gdy" (p ↔ q) - prawdziwa, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną.
Negacja (¬): "nieprawda, że..." (¬p) - zmienia wartość logiczną zdania.
Prawa De Morgana
¬(p ∧ q) ≡ (¬p ∨ ¬q)
¬(p ∨ q) ≡ (¬p ∧ ¬q)
Pamiętaj, negacja koniunkcji to alternatywa negacji, a negacja alternatywy to koniunkcja negacji!
Tautologie i kontradykcje
Tautologia to zdanie, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań składowych.
Kontradykcja to zdanie, które jest zawsze fałszywe.
Dział 3: Kwantyfikatory
Kwantyfikator ogólny (∀)
"Dla każdego", "dla wszystkich".
∀x ∈ A: P(x) - dla każdego x należącego do zbioru A, zachodzi własność P(x).
Kwantyfikator szczegółowy (∃)
"Istnieje", "dla pewnego".
∃x ∈ A: P(x) - istnieje x należący do zbioru A, dla którego zachodzi własność P(x).
Negacja kwantyfikatorów
¬(∀x ∈ A: P(x)) ≡ ∃x ∈ A: ¬P(x)
¬(∃x ∈ A: P(x)) ≡ ∀x ∈ A: ¬P(x)
Negacja kwantyfikatora ogólnego to kwantyfikator szczegółowy z negacją własności. I odwrotnie!
Dział 4: Indukcja Matematyczna
Zasada indukcji matematycznej
Chcemy udowodnić, że pewne twierdzenie T(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ n0.
Krok 1 (Baza indukcji): Sprawdzamy, czy twierdzenie jest prawdziwe dla n = n0 (np. n = 1).
Krok 2 (Założenie indukcyjne): Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego k ≥ n0, czyli T(k) jest prawdziwe.
Krok 3 (Krok indukcyjny): Udowadniamy, że jeśli T(k) jest prawdziwe, to T(k + 1) też jest prawdziwe.
Jeśli kroki 1, 2 i 3 są spełnione, to twierdzenie T(n) jest prawdziwe dla wszystkich n ≥ n0.
Podsumowanie
Powtórzyliśmy podstawowe pojęcia dotyczące zbiorów, logiki, kwantyfikatorów i indukcji matematycznej.
Pamiętaj o definicjach, symbolach i prawach. Ćwicz rozwiązywanie zadań!
Powodzenia na sprawdzianie! Dasz radę!
