Zbiór wartości funkcji, czyli wszystkie możliwe wyniki, jakie funkcja może "wypluć", to ważny koncept. Uczniowie często mają z nim problem. Myślą o nim w sposób abstrakcyjny.
Wprowadzenie do tematu
Zacznijmy od podstaw. Funkcja to jak maszyna. Wrzucasz coś (argument, x), a ona coś zwraca (wartość, f(x) lub y). Zbiór argumentów to dziedzina. Zbiór wyników to właśnie zbiór wartości.
Możemy to zobrazować na przykładzie. Wyobraźmy sobie automat z napojami. Wrzucamy monetę (x). Wypada napój (y). Zbiór wartości to lista dostępnych napojów: Cola, Fanta, Sprite.
Metody wyznaczania zbioru wartości
Istnieje kilka sposobów. Wybór zależy od rodzaju funkcji. Niektóre metody są bardziej intuicyjne. Inne wymagają bardziej formalnego podejścia.
Analiza wykresu funkcji
To chyba najłatwiejsza metoda. Rysujemy wykres. Patrzymy, jakie wartości na osi OY są osiągane. Dolna granica to najmniejsza wartość. Górna granica to największa wartość.
Przykład: Funkcja liniowa f(x) = x + 2. Wykres to prosta. Rozciąga się od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Zatem zbiór wartości to cały zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja kwadratowa f(x) = x². Wykres to parabola. Najniższa wartość to 0. Parabola rozciąga się w górę do nieskończoności. Zbiór wartości to [0, ∞).
Analiza wzoru funkcji
Czasami da się wywnioskować z wzoru. Zastanawiamy się, jakie wartości może przyjmować funkcja. Patrzymy na ograniczenia. Rozważamy, czy funkcja jest ograniczona z góry, z dołu, czy w ogóle.
Przykład: Funkcja f(x) = 1/x. x nie może być zerem. Wartości mogą być dowolnie bliskie zera, ale nigdy go nie osiągną. Funkcja może przyjmować wartości dodatnie i ujemne. Zbiór wartości to (-∞, 0) ∪ (0, ∞).
Funkcja f(x) = sin(x). Wiemy, że sinus przyjmuje wartości od -1 do 1. Zatem zbiór wartości to [-1, 1]. Nie musimy rysować wykresu, żeby to wiedzieć.
Wykorzystanie własności funkcji
Funkcje mają różne własności. Monotoniczność (rosnąca, malejąca). Parzystość, nieparzystość. Okresowość. Te własności mogą nam pomóc w znalezieniu zbioru wartości.
Jeśli funkcja jest rosnąca, to jej najmniejsza wartość jest na lewym końcu dziedziny. Największa wartość jest na prawym końcu dziedziny. Podobnie dla funkcji malejącej, tylko odwrotnie.
Funkcja parzysta ma symetryczny wykres względem osi OY. Możemy analizować tylko połowę wykresu. Funkcja nieparzysta ma symetryczny wykres względem początku układu współrzędnych.
Typowe błędy i jak ich unikać
Uczniowie często mylą dziedzinę ze zbiorem wartości. To bardzo częsty błąd. Podkreślajmy różnicę między argumentami a wynikami. Używajmy przykładów z życia. Mówmy o "wrzucaniu" i "wypadaniu".
Inny błąd to patrzenie tylko na wzór funkcji. Zapominają o dziedzinie. Dziedzina ma ogromny wpływ na zbiór wartości. Jeśli zawężimy dziedzinę, to zbiór wartości też może się zmienić.
Uczniowie mają problem z funkcjami kawałkami liniowymi. Trzeba dokładnie analizować każdy przedział. Sprawdzać, czy wartości na końcach przedziałów się "łączą". Rysowanie wykresu bardzo pomaga w tym przypadku.
Jak uatrakcyjnić zajęcia?
Używajmy interaktywnych narzędzi. Desmos, GeoGebra. Uczniowie mogą sami rysować wykresy. Eksperymentować. Widzieć, jak zmienia się zbiór wartości, gdy zmieniamy wzór funkcji.
Organizujmy konkursy. Kto szybciej znajdzie zbiór wartości danej funkcji? Można też dawać punkty za kreatywne rozwiązania. Za wykorzystanie nietypowych metod.
Przykłady z życia. Szukajmy funkcji w otaczającym nas świecie. Jak zależy temperatura od pory dnia? Jak zależy koszt przejazdu taksówką od odległości? Jak zależy zysk firmy od liczby sprzedanych produktów?
Podsumowanie
Wyznaczanie zbioru wartości funkcji to ważna umiejętność. Pomaga zrozumieć, jak funkcja działa. Jakie wartości może przyjmować. Jakie są jej ograniczenia. Wykorzystujmy różne metody. Unikajmy typowych błędów. Uatrakcyjniajmy zajęcia. Wtedy uczniowie polubią ten temat.
Pamiętajmy o stopniowaniu trudności. Zaczynajmy od prostych przykładów. Funkcja liniowa, kwadratowa. Potem przechodźmy do bardziej złożonych funkcji. Trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne.
Kluczowe jest połączenie teorii z praktyką. Dużo ćwiczeń. Różne typy zadań. Od prostych do bardziej skomplikowanych. Wtedy uczniowie nabędą wprawy. Będą potrafili rozwiązywać zadania na zbiorze wartości bez problemu.
