Często widzimy wyrażenia z pierwiastkami, gdzie przed znakiem pierwiastka stoi jakaś liczba.
Np. 3√5, 2√7, albo 5√2.
Naszym celem jest wciągnięcie tej liczby pod pierwiastek. Zrobimy to krok po kroku.
Krok 1: Podnoszenie do kwadratu
Liczba, która stoi przed pierwiastkiem, musi zostać podniesiona do kwadratu. Wyobraź sobie, że to taki "bilet wstępu" pod pierwiastek.
Dlaczego do kwadratu? Bo mówimy o pierwiastku kwadratowym. Jeśli byłby to pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny), podnosilibyśmy do trzeciej potęgi.
Np. dla 3√5, liczba 3 staje się 32, czyli 9.
A dla 2√7, liczba 2 staje się 22, czyli 4.
Podobnie, 5√2 zamienia 5 na 52, czyli 25.
Myśl o tym, jak o windzie, która zabiera liczbę na wyższy poziom (pod pierwiastek), ale musi najpierw pokazać swój bilet (być podniesiona do kwadratu).
Krok 2: Mnożenie
Teraz, gdy liczba została podniesiona do kwadratu, mnożymy ją z tym, co już jest pod pierwiastkiem.
Dla przykładu 3√5, po podniesieniu 3 do kwadratu, mamy 9. Teraz mnożymy 9 * 5 = 45.
Więc 3√5 przekształca się w √45.
Dla 2√7, po podniesieniu 2 do kwadratu (4), mnożymy 4 * 7 = 28.
Czyli 2√7 staje się √28.
A dla 5√2, podnosimy 5 do kwadratu (25), a następnie mnożymy 25 * 2 = 50.
W rezultacie 5√2 równa się √50.
Pomyśl o tym jako o wspólnym mieszkaniu: podniesiona do kwadratu liczba dołącza do już istniejącej liczby pod pierwiastkiem, tworząc jedną dużą rodzinę (iloczyn).
Przykłady i wizualizacje
Przykład 1: 4√3
1. Liczba przed pierwiastkiem: 4
2. Podnosimy do kwadratu: 42 = 16
3. Mnożymy z tym, co pod pierwiastkiem: 16 * 3 = 48
4. Wynik: √48
Wyobraź sobie cztery grupy po √3. Wciągamy te 4 pod pierwiastek. Musimy je przekształcić w 16, i przemnożyć przez to co już jest pod pierwiastkiem.
Przykład 2: 6√2
1. Liczba przed pierwiastkiem: 6
2. Podnosimy do kwadratu: 62 = 36
3. Mnożymy z tym, co pod pierwiastkiem: 36 * 2 = 72
4. Wynik: √72
Sześć "korzeni z dwóch" (6√2) staje się jednym, dużym korzeniem (√72) po wciągnięciu liczby 6 pod znak pierwiastka.
Przykład 3: 10√5
1. Liczba przed pierwiastkiem: 10
2. Podnosimy do kwadratu: 102 = 100
3. Mnożymy z tym, co pod pierwiastkiem: 100 * 5 = 500
4. Wynik: √500
Dziesięć razy pierwiastek z pięciu przekształca się w pierwiastek z pięciuset. 10 idzie pod pierwiastek, "rośnie" do 100, a potem mnoży się z tym, co już tam jest.
Praktyczne zastosowanie
Umiejętność wciągania czynnika przed znak pierwiastka przydaje się w różnych sytuacjach matematycznych.
Np. przy porównywaniu wielkości wyrażeń z pierwiastkami. Łatwiej jest porównać √45 i √28 niż 3√5 i 2√7.
Przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych, często trzeba wciągnąć czynnik pod pierwiastek, aby móc dalej przekształcać wyrażenie.
Podczas obliczeń w fizyce i inżynierii, gdzie występują wzory z pierwiastkami, może być konieczne przekształcenie wyrażeń.
Zapamiętaj!
Podnosimy do kwadratu liczbę przed pierwiastkiem.
Następnie mnożymy wynik z liczbą pod pierwiastkiem.
Praktyka czyni mistrza! Im więcej ćwiczysz, tym łatwiej i szybciej będziesz wciągać czynnik przed znak pierwiastka.
Wyobraź sobie, że liczba idzie na wycieczkę pod pierwiastek. Musi zapłacić za bilet (podnieść się do kwadratu) i dołączyć do zabawy z innymi liczbami (pomnożyć się).
Powodzenia w dalszej nauce!
