Witaj! Przygotowujesz się do egzaminu z geometrii? Świetnie! Dzisiaj skupimy się na obliczaniu pola powierzchni całkowitej różnych brył. Brzmi groźnie? Bez obaw, rozłożymy to na czynniki pierwsze!
Co to jest pole powierzchni całkowitej?
Najprościej mówiąc, to suma pól wszystkich ścian danej bryły. Wyobraź sobie, że chcesz pomalować pudełko. Pole powierzchni całkowitej to ilość farby, której potrzebujesz, aby pokryć całe pudełko!
Podstawowe bryły i wzory
Zaczniemy od najpopularniejszych brył. Pamiętaj, że wzory to podstawa!
Sześcian
Sześcian to bryła, która ma sześć identycznych kwadratowych ścian.
Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu: Pc = 6a2, gdzie a to długość krawędzi sześcianu.
Proste, prawda? Oblicz pole jednej ściany (a2) i pomnóż przez 6!
Przykład: Jeśli krawędź sześcianu ma długość 5 cm, to jego pole powierzchni całkowitej wynosi 6 * 52 = 6 * 25 = 150 cm2.
Prostopadłościan
Prostopadłościan ma sześć ścian, które są prostokątami.
Wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: Pc = 2(ab + bc + ac), gdzie a, b, i c to długości krawędzi prostopadłościanu.
Trochę bardziej skomplikowane? Policz pole każdej pary identycznych ścian (ab, bc, ac), dodaj je, i pomnóż przez 2!
Przykład: Jeśli krawędzie prostopadłościanu mają długości 3 cm, 4 cm i 5 cm, to jego pole powierzchni całkowitej wynosi 2 * (3*4 + 4*5 + 3*5) = 2 * (12 + 20 + 15) = 2 * 47 = 94 cm2.
Graniastosłup prosty
Graniastosłup prosty ma dwie podstawy, które są identycznymi wielokątami, i ściany boczne, które są prostokątami.
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego: Pc = 2Pp + Pb, gdzie Pp to pole podstawy, a Pb to pole powierzchni bocznej.
Oblicz pole podstawy (to zależy od kształtu podstawy!), pomnóż przez 2, a następnie dodaj pole powierzchni bocznej. Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich prostokątnych ścian bocznych.
Przykład: Graniastosłup prosty trójkątny ma podstawę w kształcie trójkąta o podstawie 6 cm i wysokości 4 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Pole podstawy to (6 * 4) / 2 = 12 cm2. Pole powierzchni bocznej to suma pól trzech prostokątów: 6 * 10 + 5 * 10 + 5 * 10 = 60 + 50 + 50 = 160 cm2 (zakładając, że trójkąt jest równoramienny, a ramiona mają po 5 cm). Pole powierzchni całkowitej to 2 * 12 + 160 = 24 + 160 = 184 cm2.
Ostrosłup
Ostrosłup ma jedną podstawę (wielokąt) i ściany boczne, które są trójkątami, zbiegające się w jednym wierzchołku.
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: Pc = Pp + Pb, gdzie Pp to pole podstawy, a Pb to pole powierzchni bocznej.
Podobnie jak w przypadku graniastosłupa, oblicz pole podstawy i dodaj do niego pole powierzchni bocznej. Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich trójkątnych ścian bocznych.
Przykład: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę w kształcie kwadratu o boku 4 cm. Wysokość każdej ściany bocznej (wysokość trójkąta) wynosi 5 cm. Pole podstawy to 4 * 4 = 16 cm2. Pole jednej ściany bocznej to (4 * 5) / 2 = 10 cm2. Pole powierzchni bocznej to 4 * 10 = 40 cm2. Pole powierzchni całkowitej to 16 + 40 = 56 cm2.
Walec
Walec ma dwie podstawy, które są kołami, i powierzchnię boczną, która po rozwinięciu jest prostokątem.
Wzór na pole powierzchni całkowitej walca: Pc = 2πr2 + 2πrh, gdzie r to promień podstawy, a h to wysokość walca.
Oblicz pole dwóch podstaw (2πr2) i dodaj do tego pole powierzchni bocznej (2πrh). Pamiętaj o liczbie π (pi), która w przybliżeniu wynosi 3.14.
Przykład: Walec ma promień podstawy 2 cm i wysokość 6 cm. Pole powierzchni całkowitej to 2 * π * 22 + 2 * π * 2 * 6 = 8π + 24π = 32π cm2 ≈ 32 * 3.14 ≈ 100.48 cm2.
Stożek
Stożek ma jedną podstawę, która jest kołem, i powierzchnię boczną, która zbiega się w wierzchołku.
Wzór na pole powierzchni całkowitej stożka: Pc = πr2 + πrl, gdzie r to promień podstawy, a l to tworząca stożka (długość od wierzchołka do brzegu podstawy).
Oblicz pole podstawy (πr2) i dodaj do niego pole powierzchni bocznej (πrl). Pamiętaj, że l (tworząca) nie zawsze jest podana bezpośrednio – czasami trzeba ją obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, jeśli znasz wysokość stożka i promień podstawy.
Przykład: Stożek ma promień podstawy 3 cm i tworzącą 5 cm. Pole powierzchni całkowitej to π * 32 + π * 3 * 5 = 9π + 15π = 24π cm2 ≈ 24 * 3.14 ≈ 75.36 cm2.
Kula
Kula to bryła, w której każdy punkt powierzchni jest w tej samej odległości od środka.
Wzór na pole powierzchni całkowitej kuli: Pc = 4πr2, gdzie r to promień kuli.
Wystarczy znać promień, podnieść go do kwadratu, pomnożyć przez 4π i gotowe!
Przykład: Kula ma promień 4 cm. Pole powierzchni całkowitej to 4 * π * 42 = 64π cm2 ≈ 64 * 3.14 ≈ 200.96 cm2.
Kilka ważnych wskazówek
- Upewnij się, że wszystkie wymiary są w tej samej jednostce.
- Zawsze zapisuj wzór przed podstawieniem liczb.
- Sprawdź dokładnie, co jest dane w zadaniu – czy masz promień, średnicę, wysokość, czy tworzącą.
- Pamiętaj o jednostkach! Pole powierzchni wyrażamy w jednostkach kwadratowych (np. cm2, m2).
Podsumowanie
Obliczanie pola powierzchni całkowitej różnych brył sprowadza się do znajomości wzorów i umiejętności ich zastosowania. Pamiętaj, że:
- Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian.
- Dla każdej bryły mamy specyficzny wzór.
- Kluczowe jest poprawne podstawianie danych do wzoru.
- Ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiąż jak najwięcej zadań, aby utrwalić wiedzę.
Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Ciebie!
