Obliczanie całki z funkcji trygonometrycznych może wydawać się trudne. Szczególnie gdy mamy do czynienia z iloczynem funkcji sinus i cosinus o różnych argumentach. Omówimy krok po kroku, jak obliczyć całkę z funkcji sin(2x)cos(6x).
Wzory na iloczyn funkcji trygonometrycznych
Kluczem do rozwiązania tej całki jest skorzystanie z odpowiednich wzorów trygonometrycznych. Mamy tutaj iloczyn sinusa i cosinusa. Przypomnijmy sobie wzór na iloczyn funkcji trygonometrycznych, który pozwoli nam przekształcić iloczyn na sumę funkcji.
Wzór, który będziemy używać to: sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A + B) + sin(A - B)]. Jest to istotny wzór, który umożliwi nam uproszczenie wyrażenia podcałkowego. Dzięki niemu, zamienimy iloczyn na sumę, co ułatwi nam obliczenie całki.
Pamiętajmy, że w naszym przypadku A = 2x i B = 6x. Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymamy wyrażenie, które będzie łatwiejsze do scałkowania. Konieczne jest, aby prawidłowo zidentyfikować A i B, aby poprawnie zastosować wzór.
Przekształcenie wyrażenia podcałkowego
Zastosujmy teraz wzór na iloczyn funkcji trygonometrycznych do naszej funkcji. Podstawiamy A = 2x i B = 6x do wzoru: sin(2x)cos(6x) = (1/2)[sin(2x + 6x) + sin(2x - 6x)]. To przekształcenie jest kluczowe do uproszczenia problemu.
Po uproszczeniu otrzymujemy: sin(2x)cos(6x) = (1/2)[sin(8x) + sin(-4x)]. Zauważmy, że sin(-4x) = -sin(4x), ponieważ sinus jest funkcją nieparzystą. Funkcja sinus ma tę własność, która pozwala nam uprościć wyrażenie.
Ostatecznie, nasze wyrażenie podcałkowe przyjmuje postać: sin(2x)cos(6x) = (1/2)[sin(8x) - sin(4x)]. Teraz możemy przystąpić do obliczenia całki z sumy dwóch funkcji sinus.
Obliczanie całki
Teraz możemy obliczyć całkę z przekształconego wyrażenia. Całka z sin(2x)cos(6x) jest równa całce z (1/2)[sin(8x) - sin(4x)]. Rozbijamy całkę na dwie części, korzystając z liniowości całki.
Otrzymujemy: ∫sin(2x)cos(6x) dx = (1/2)∫[sin(8x) - sin(4x)] dx = (1/2)[∫sin(8x) dx - ∫sin(4x) dx]. To pozwala nam na obliczenie każdej całki osobno, co znacznie ułatwia proces.
Przypomnijmy sobie, że całka z sin(ax) wynosi -(1/a)cos(ax) + C, gdzie C jest stałą całkowania. Zatem, ∫sin(8x) dx = -(1/8)cos(8x) + C₁ oraz ∫sin(4x) dx = -(1/4)cos(4x) + C₂. Pamiętamy o stałej całkowania.
Podstawienie i uproszczenie
Podstawiamy obliczone całki do naszego wyrażenia. Otrzymujemy: (1/2)[-(1/8)cos(8x) + (1/4)cos(4x)] + C, gdzie C jest stałą całkowania. Teraz uprościmy to wyrażenie.
Po uproszczeniu otrzymujemy: -(1/16)cos(8x) + (1/8)cos(4x) + C. To jest wynik naszej całki. Pamiętajmy, że C reprezentuje dowolną stałą.
Zatem, ∫sin(2x)cos(6x) dx = -(1/16)cos(8x) + (1/8)cos(4x) + C. Jest to ostateczny wynik, który uzyskaliśmy dzięki zastosowaniu wzorów trygonometrycznych i własności całek.
Podsumowanie
Podsumowując, obliczenie całki z sin(2x)cos(6x) wymagało użycia wzoru na iloczyn funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształciliśmy wyrażenie podcałkowe na sumę funkcji, które łatwiej było scałkować. To pokazuje, jak ważne jest znajomość wzorów trygonometrycznych.
Kluczowe kroki to: zastosowanie wzoru sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A + B) + sin(A - B)], przekształcenie wyrażenia, obliczenie całek z poszczególnych funkcji, i uproszczenie wyniku. Każdy z tych kroków jest istotny dla poprawnego rozwiązania zadania.
Pamiętajmy o stałej całkowania C. Ćwiczenie podobnych przykładów pomoże w utrwaleniu wiedzy. Zastosowanie tej metody może być użyteczne w wielu problemach z fizyki i inżynierii.
