Integral 1 Sqrt 4 X 2

Hej Studencie! Zbliża się egzamin z całek? Bez obaw! Rozłóżmy na czynniki pierwsze zadanie z całką: ∫√(4x²) dx. Brzmi groźnie? Krok po kroku pokażę Ci, jak to rozgryźć. Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza, więc nie zrażaj się!

Analiza Wyrażenia Podcałkowego

Pierwszy krok to zawsze uproszczenie tego, co mamy pod znakiem całki. Mamy tutaj √(4x²). Zauważ, że zarówno 4 jak i x² są kwadratami. Możemy więc wyciągnąć je spod pierwiastka.

Pamiętajmy o własności pierwiastka: √(a*b) = √a * √b. Zatem:

√(4x²) = √4 * √(x²) = 2 * |x|

Tutaj ważna uwaga! Zwróć uwagę na wartość bezwzględną, |x|. Pierwiastek kwadratowy z x² to zawsze wartość bezwzględna z x. Jednak, często w zadaniach (w tym pewnie i na egzaminie) zakłada się, że x > 0 (albo podaje się przedział, w którym x jest dodatni). Wtedy możemy po prostu zapisać |x| = x. My też tak zrobimy na potrzeby tego przykładu (inaczej musielibyśmy rozważać dwa przypadki i całkować osobno dla x > 0 i x < 0). Zatem przyjmijmy, że x > 0.

Wobec tego nasze wyrażenie podcałkowe upraszcza się do: 2x.

Obliczanie Całki

Teraz możemy wrócić do naszej całki. Mamy:

∫√(4x²) dx = ∫2x dx

To już wygląda dużo przyjaźniej, prawda? Pamiętaj o własności liniowości całki: ∫c*f(x) dx = c∫f(x) dx, gdzie c to stała.

Wyciągnijmy 2 przed całkę:

2∫x dx

Teraz musimy obliczyć całkę z x. Pamiętasz wzór na całkę z funkcji potęgowej? ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, gdzie C to stała całkowania.

W naszym przypadku n = 1, więc:

∫x dx = (x¹⁺¹)/(1+1) + C = (x²)/2 + C

Wstawmy to z powrotem do naszego wyrażenia:

2∫x dx = 2 * [(x²)/2 + C] = x² + 2C

Ponieważ 2C to też po prostu stała, możemy ją zapisać jako nową stałą, np. K. Ostatecznie:

∫√(4x²) dx = x² + K

Sprawdzenie Wyniku

Zawsze warto sprawdzić, czy dobrze obliczyliśmy całkę. Jak to zrobić? Oblicz pochodną wyniku! Jeśli otrzymamy to, co było pod całką (czyli wyrażenie podcałkowe), to znaczy, że dobrze policzyliśmy.

Pochodna z x² + K to 2x + 0 = 2x. A to jest to samo, co mieliśmy po uproszczeniu wyrażenia podcałkowego! Czyli wszystko się zgadza.

Podsumowanie i Wskazówki

Uff, przebrnęliśmy przez to! Podsumujmy kluczowe kroki:

1. Uprość wyrażenie podcałkowe: √(4x²) = 2|x| (pamiętaj o wartości bezwzględnej!)
2. Wyciągnij stałą przed całkę: ∫2x dx = 2∫x dx
3. Oblicz całkę z funkcji potęgowej: ∫x dx = (x²)/2 + C
4. Wstaw wynik i uprość: 2 * [(x²)/2 + C] = x² + K
5. Sprawdź wynik obliczając pochodną!

Pamiętaj o kilku ważnych rzeczach na egzaminie:

• Stała całkowania: Zawsze dodawaj stałą C (lub K) do wyniku całki nieoznaczonej!
• Wartość bezwzględna: Uważaj na pierwiastki kwadratowe i wartość bezwzględną. Zastanów się, czy możesz założyć, że x jest dodatni.
• Wzory: Miej pod ręką kartkę ze wzorami na podstawowe całki i pochodne.
• Sprawdzanie: Zawsze, jeśli masz czas, sprawdź wynik obliczając pochodną.

Nie bój się całek! Zrozumienie podstawowych zasad i trochę ćwiczeń wystarczą, żeby zdać egzamin. Powodzenia!

Dodatkowa rada: Jeśli masz problem z jakimś konkretnym typem całki, poszukaj więcej przykładów i rozwiązań w internecie lub w podręczniku. Skup się na zrozumieniu metody, a nie tylko na zapamiętywaniu wzorów.

Pamiętaj, wiara w siebie to połowa sukcesu! Dasz radę!