Zastanówmy się nad sytuacją, w której mamy graniastosłup i ostrosłup. To dwie różne bryły geometryczne. Najważniejsze jest to, że obie figury mają identyczne podstawy. Co to dla nas oznacza?
Najpierw przypomnijmy sobie, czym są te figury. Graniastosłup to bryła, która ma dwie identyczne i równoległe podstawy. Podstawy są wielokątami. Ściany boczne graniastosłupa są równoległobokami. Szczególnym przypadkiem jest graniastosłup prosty, gdzie ściany boczne są prostokątami.
Z kolei ostrosłup to bryła, która ma jedną podstawę, będącą wielokątem. Ściany boczne ostrosłupa są trójkątami. Wszystkie ściany boczne zbiegają się w jednym punkcie, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Pomyśl o piramidzie – to przykład ostrosłupa.
Wysokość brył
Ważnym elementem jest wysokość bryły. Wysokość graniastosłupa to odległość między jego dwiema podstawami. Jest to odcinek prostopadły do obu podstaw. Wysokość ostrosłupa to odległość od wierzchołka do płaszczyzny podstawy. Jest to również odcinek prostopadły do podstawy.
Załóżmy teraz, że graniastosłup i ostrosłup mają jednakowe podstawy. Oznacza to, że wielokąt, który jest podstawą graniastosłupa, jest identyczny z wielokątem, który jest podstawą ostrosłupa. Mają taką samą liczbę boków i takie same długości boków, oraz takie same kąty.
Związek między objętościami
Teraz pojawia się kluczowe pytanie: co możemy powiedzieć o objętości tych dwóch brył, jeśli mają jednakowe podstawy? Żeby to zrozumieć, potrzebujemy wzorów na objętość.
Objętość graniastosłupa obliczamy, mnożąc pole podstawy (Pp) przez wysokość (H): Vgraniastosłupa = Pp * H. Czyli, im większa podstawa i im wyższy graniastosłup, tym większa jego objętość.
Objętość ostrosłupa obliczamy, mnożąc pole podstawy (Pp) przez wysokość (H) i dzieląc przez 3: Vostrosłupa = (1/3) * Pp * H. Zauważ, że w porównaniu do graniastosłupa, wzór ma dodatkowy czynnik (1/3).
Widzimy, że objętość ostrosłupa jest zawsze mniejsza niż objętość graniastosłupa, o ile mają one takie samo pole podstawy i taką samą wysokość. Konkretnie, objętość ostrosłupa stanowi jedną trzecią objętości graniastosłupa.
Przykład
Wyobraźmy sobie, że mamy graniastosłup i ostrosłup. Ich podstawą jest kwadrat o boku długości a = 5 cm. Obie bryły mają wysokość H = 10 cm.
Pole podstawy w obu przypadkach wynosi: Pp = a2 = 5 cm * 5 cm = 25 cm2. Zauważmy, że jest to identyczne dla obu figur, ponieważ mają te same podstawy.
Objętość graniastosłupa wynosi: Vgraniastosłupa = Pp * H = 25 cm2 * 10 cm = 250 cm3.
Objętość ostrosłupa wynosi: Vostrosłupa = (1/3) * Pp * H = (1/3) * 25 cm2 * 10 cm = (250/3) cm3 ≈ 83.33 cm3.
Jak widzimy, objętość ostrosłupa (83.33 cm3) jest znacznie mniejsza niż objętość graniastosłupa (250 cm3). To potwierdza nasz wniosek, że przy jednakowych podstawach i wysokości, objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza niż objętość graniastosłupa.
Zastosowania praktyczne
Zrozumienie zależności między objętościami graniastosłupa i ostrosłupa o jednakowych podstawach ma praktyczne zastosowania. Na przykład, w architekturze, przy projektowaniu budynków o kształcie piramid (ostrosłupów), inżynierowie muszą dokładnie obliczyć objętość materiałów potrzebnych do budowy. Znając wysokość i wymiary podstawy, mogą oszacować ilość betonu lub kamienia. Podobnie, przy projektowaniu budynków o kształcie graniastosłupów, obliczenia objętości są kluczowe dla oszacowania kosztów budowy.
W geodezji, te obliczenia mogą być używane do szacowania objętości ziemi usuwanej podczas wykopalisk. Wyobraźmy sobie, że mamy wykop w kształcie ostrosłupa lub graniastosłupa. Znając wymiary wykopu, możemy obliczyć, ile ziemi trzeba usunąć.
Podsumowując, jeśli graniastosłup i ostrosłup mają jednakowe podstawy, to ich objętości są związane wzorem Vostrosłupa = (1/3) * Vgraniastosłupa, pod warunkiem, że mają tę samą wysokość. Ta wiedza jest przydatna w wielu dziedzinach nauki i techniki.
