Witaj w świecie funkcji! To trochę jak magiczna maszyna, która zamienia jedną rzecz w drugą.
Wyobraź sobie automat z napojami. Wrzucasz monetę (to argument), wybierasz przycisk (np. Cola), a automat wydaje napój (to wartość funkcji).
Co to jest funkcja?
Funkcja to takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi z jednego zbioru (dziedziny) przypisuje dokładnie jeden element z drugiego zbioru (przeciwdziedziny).
Pomyśl o uczniach w klasie. Każdemu uczniowi możemy przypisać jego numer w dzienniku. To jest funkcja! Każdy uczeń ma swój numer, a jeden numer nie może należeć do dwóch uczniów.
Funkcję możemy zapisać na kilka sposobów. Najpopularniejszy to wzór: y = f(x).
y to wartość funkcji, a x to argument. f to nazwa funkcji.
Np. y = 2x + 1. Jeśli x = 3, to y = 2 * 3 + 1 = 7. Czyli f(3) = 7.
Jak przedstawiać funkcje?
Funkcje możemy przedstawiać na wiele sposobów, żeby lepiej je zrozumieć. Mamy cztery główne:
- Wzór: Jak widzieliśmy wyżej, np. y = x² - 3
- Tabela: Pokazuje konkretne wartości argumentów i odpowiadające im wartości funkcji.
- Graf: Rysunek w układzie współrzędnych.
- Opis słowny: Na przykład: "Funkcja przypisuje każdej liczbie jej podwojoną wartość, powiększoną o 5".
Tabela
Tabela to zbiór par liczb. Każda para to argument (x) i wartość funkcji (y) dla tego argumentu.
Przykład: dla funkcji y = x + 2:
| x | y |
|---|---|
| -1 | 1 |
| 0 | 2 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
Możesz wyobrazić sobie, że wrzucasz do maszyny -1, a ona wyrzuca 1. Wrzucasz 0, wyrzuca 2, itd.
Wykres
Wykres to wizualne przedstawienie funkcji. Rysujemy go w układzie współrzędnych.
Pozioma oś to oś x (oś argumentów). Pionowa oś to oś y (oś wartości funkcji).
Każda para liczb z tabeli to punkt na wykresie. Na przykład, para (-1, 1) to punkt, który znajduje się na przecięciu linii pionowej przechodzącej przez -1 na osi x i linii poziomej przechodzącej przez 1 na osi y.
Łącząc punkty, otrzymujemy wykres funkcji. Różne funkcje mają różne wykresy: proste, krzywe, zygzaki.
Pomyśl o wykresie jako o drodze. Idąc po osi x, widzisz, jak wysoko wznosi się lub opada "droga" funkcji, czyli jak zmienia się y.
Przykłady zadań
Spróbujmy rozwiązać kilka zadań, żeby lepiej zrozumieć, jak działają funkcje.
Zadanie 1: Dana jest funkcja f(x) = 3x - 2. Oblicz f(2).
Czyli, zamiast x wstawiamy 2: f(2) = 3 * 2 - 2 = 6 - 2 = 4. Odpowiedź: f(2) = 4.
Zadanie 2: Dana jest tabela:
| x | y |
|---|---|
| -2 | -1 |
| 0 | 1 |
| 2 | 3 |
Znajdź wzór funkcji liniowej, która pasuje do tej tabeli.
Funkcja liniowa ma postać y = ax + b. Potrzebujemy znaleźć a i b.
Z tabeli widzimy, że dla x = 0, y = 1. Zatem 1 = a * 0 + b, czyli b = 1.
Teraz wiemy, że y = ax + 1. Użyjmy innej pary z tabeli, np. x = 2, y = 3.
Zatem 3 = a * 2 + 1. Odejmując 1 od obu stron, mamy 2 = 2a. Dzieląc przez 2, dostajemy a = 1.
Wzór funkcji to y = x + 1.
Zadanie 3: Narysuj wykres funkcji y = -x + 3.
Potrzebujemy kilku punktów. Wybierzmy kilka wartości x, np. -1, 0, 1, 2.
- Dla x = -1, y = -(-1) + 3 = 4. Punkt: (-1, 4)
- Dla x = 0, y = -0 + 3 = 3. Punkt: (0, 3)
- Dla x = 1, y = -1 + 3 = 2. Punkt: (1, 2)
- Dla x = 2, y = -2 + 3 = 1. Punkt: (2, 1)
Zaznacz te punkty w układzie współrzędnych i połącz je linią prostą. Otrzymasz wykres funkcji y = -x + 3. Zauważ, że linia opada – to dlatego, że współczynnik przy x jest ujemny.
Pamiętaj!
Funkcje są wszędzie! Wzrost temperatury w ciągu dnia, koszt przejazdu taksówką w zależności od odległości, ilość paliwa zużytego przez samochód w zależności od prędkości – to wszystko przykłady funkcji.
Ćwicz zadania, rysuj wykresy, a funkcje staną się dla Ciebie proste jak bułka z masłem!
