Zacznijmy od podstaw. Co to są figury podobne? Figury podobne to takie figury, które mają taki sam kształt, ale mogą mieć różne rozmiary. Wyobraź sobie zdjęcie, które zostało powiększone lub pomniejszone. Oryginalne zdjęcie i jego kopia to figury podobne.
Definicja figur podobnych
Dwie figury geometryczne są podobne, jeśli istnieje przekształcenie geometryczne, które zmienia jedną figurę w drugą z zachowaniem proporcji. Oznacza to, że odpowiadające sobie kąty w obu figurach są równe, a stosunek długości odpowiadających sobie boków jest stały. Ten stały stosunek nazywamy skalą podobieństwa. Przykładowo, dwa kwadraty są zawsze podobne, niezależnie od długości ich boków.
Skala podobieństwa (k) jest bardzo ważna. Jeżeli figura A jest podobna do figury B w skali k, oznacza to, że każdy bok figury B jest k razy dłuższy niż odpowiadający mu bok figury A. Jeśli k > 1, to figura B jest powiększeniem figury A. Jeśli k < 1, to figura B jest pomniejszeniem figury A. Jeśli k=1, figury są przystające.
Przykłady figur podobnych
Spójrzmy na kilka przykładów. Dwa trójkąty równoboczne, niezależnie od długości ich boków, są zawsze podobne. Dwa okręgi również są zawsze podobne. Dwa kwadraty, jak już wspomnieliśmy, również. Ważne jest, aby zrozumieć, że nie każde dwa prostokąty są podobne. Prostokąty są podobne tylko wtedy, gdy stosunek długości ich boków jest taki sam.
Wyobraź sobie mapę. Mapa jest podobna do terenu, który przedstawia. Skala mapy to nic innego jak skala podobieństwa między mapą a rzeczywistym obszarem. Podobnie, plan mieszkania jest podobny do rzeczywistego mieszkania.
Cechy podobieństwa trójkątów
W przypadku trójkątów istnieją specjalne cechy, które pozwalają stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne. Jest ich kilka i warto je znać.
Cechy podobieństwa trójkątów:
- Cechy bok-bok-bok (BBB): Jeśli stosunki długości odpowiadających sobie boków dwóch trójkątów są równe, to te trójkąty są podobne.
- Cechy bok-kąt-bok (BKB): Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między tymi bokami są równe, to te trójkąty są podobne.
- Cechy kąt-kąt-kąt (KKK): Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne. (Pamiętaj, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni, więc wystarczy, że dwa kąty są równe).
Sprawdźmy to na przykładzie. Mamy trójkąt ABC o bokach długości 3, 4 i 5. Mamy też trójkąt DEF o bokach długości 6, 8 i 10. Sprawdzamy stosunki boków: 6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2. Wszystkie stosunki są równe 2, więc trójkąty ABC i DEF są podobne w skali k = 2.
Zastosowania podobieństwa figur
Podobieństwo figur ma wiele praktycznych zastosowań. Używamy go w kartografii (tworzenie map), architekturze (tworzenie planów budynków), fotografii (powiększanie i pomniejszanie zdjęć) oraz w wielu innych dziedzinach.
Wyobraź sobie, że chcesz zmierzyć wysokość drzewa. Możesz użyć zasady podobieństwa trójkątów. Wbij w ziemię tyczkę i zmierz długość cienia tyczki oraz długość cienia drzewa. Zmierz również wysokość tyczki. Możesz utworzyć dwa podobne trójkąty – jeden utworzony przez tyczkę i jej cień, a drugi utworzony przez drzewo i jego cień. Stosunek wysokości tyczki do długości jej cienia jest taki sam jak stosunek wysokości drzewa do długości jego cienia. Możesz więc obliczyć wysokość drzewa.
Innym przykładem jest obliczanie odległości na mapie. Jeśli znasz skalę mapy, możesz obliczyć rzeczywistą odległość między dwoma punktami na podstawie odległości zmierzonej na mapie. Na przykład, jeśli skala mapy to 1:100000, oznacza to, że 1 cm na mapie odpowiada 100000 cm (czyli 1 km) w rzeczywistości.
Podobieństwo a pole figur
Co się dzieje z polem figur, gdy są one podobne? Jeśli dwie figury są podobne w skali k, to stosunek ich pól jest równy k2. Oznacza to, że jeśli figura B jest powiększeniem figury A w skali 2, to pole figury B jest 4 razy większe niż pole figury A.
Przykład: Mamy dwa kwadraty. Pierwszy kwadrat ma bok długości 2 cm, a drugi kwadrat ma bok długości 4 cm. Skala podobieństwa wynosi k = 4/2 = 2. Pole pierwszego kwadratu wynosi 2*2 = 4 cm2. Pole drugiego kwadratu wynosi 4*4 = 16 cm2. Stosunek pól wynosi 16/4 = 4, czyli k2.
Pamiętaj! Przy rozwiązywaniu zadań związanych z podobieństwem figur, ważne jest, aby dokładnie określić skalę podobieństwa i prawidłowo zidentyfikować odpowiadające sobie boki i kąty. Zwróć uwagę na jednostki i pamiętaj o kwadratach skal przy obliczaniu pól.
