Działania pisemne na liczbach naturalnych to sposób wykonywania podstawowych operacji matematycznych, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, przy użyciu zapisu liczb w kolumnach. Pozwala to na radzenie sobie z większymi liczbami, których nie jesteśmy w stanie łatwo obliczyć w pamięci. Jest to fundamentalna umiejętność w matematyce.
Dodawanie Pisemne
Dodawanie pisemne zaczynamy od ustawienia liczb jedna pod drugą, tak aby cyfry o tej samej wadze (jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.) znajdowały się w jednej kolumnie. Rysujemy linię pod spodem i od tej pory będziemy pisać wynik pod tą linią. Zaczynamy dodawanie od kolumny z prawej strony, czyli od jedności.
Jeśli suma cyfr w danej kolumnie jest mniejsza niż 10, to po prostu zapisujemy ją pod linią w tej kolumnie. Jeżeli suma jest równa lub większa niż 10, zapisujemy tylko cyfrę jedności wyniku, a cyfrę dziesiątek "przenosimy" do następnej kolumny po lewej stronie. Dodajemy tę "przeniesioną" cyfrę do sumy cyfr w tej kolumnie. Powtarzamy tę procedurę dla każdej kolumny, aż do lewej strony.
Przykład: Dodajmy pisemnie liczby 257 i 136.
257
+ 136
-------
Zaczynamy od dodania 7 i 6, co daje 13. Zapisujemy 3 pod linią w kolumnie jedności, a 1 "przenosimy" do kolumny dziesiątek.
1257
+ 136
-------
3
Następnie dodajemy 5, 3 i przeniesioną 1, co daje 9. Zapisujemy 9 pod linią w kolumnie dziesiątek.
1257
+ 136
-------
93
Na koniec dodajemy 2 i 1, co daje 3. Zapisujemy 3 pod linią w kolumnie setek. Ostateczny wynik to 393.
1257
+ 136
-------
393
Odejmowanie Pisemne
Odejmowanie pisemne, podobnie jak dodawanie, wymaga ustawienia liczb jedna pod drugą, z zachowaniem odpowiednich kolumn dla jedności, dziesiątek, setek itd. Odejmujemy mniejszą liczbę od większej. Zaczynamy od kolumny z prawej strony.
Jeżeli cyfra w górnej liczbie jest większa lub równa cyfrze w dolnej liczbie w danej kolumnie, to odejmujemy dolną cyfrę od górnej i zapisujemy wynik pod linią. Jeżeli cyfra w górnej liczbie jest mniejsza od cyfry w dolnej liczbie, musimy "pożyczyć" 1 z następnej kolumny po lewej stronie. "Pożyczona" 1 oznacza w praktyce dodanie 10 do cyfry, od której odejmujemy. Następnie odejmujemy cyfrę w dolnej liczbie od powiększonej cyfry w górnej liczbie i zapisujemy wynik. Pamiętamy o zmniejszeniu o 1 cyfry, z której pożyczaliśmy.
Przykład: Odejmijmy pisemnie liczbę 136 od liczby 257.
257
- 136
-------
Zaczynamy od odjęcia 6 od 7, co daje 1. Zapisujemy 1 pod linią w kolumnie jedności.
257
- 136
-------
1
Następnie odejmujemy 3 od 5, co daje 2. Zapisujemy 2 pod linią w kolumnie dziesiątek.
257
- 136
-------
21
Na koniec odejmujemy 1 od 2, co daje 1. Zapisujemy 1 pod linią w kolumnie setek. Ostateczny wynik to 121.
257
- 136
-------
121
Przykład z pożyczaniem: Odejmijmy pisemnie liczbę 178 od liczby 325.
325
- 178
-------
Zaczynamy od odjęcia 8 od 5. Nie możemy tego zrobić, więc pożyczamy 1 z kolumny dziesiątek. Zatem 5 staje się 15, a 2 w kolumnie dziesiątek staje się 1. Teraz odejmujemy 8 od 15, co daje 7. Zapisujemy 7 pod linią w kolumnie jedności.
23125
- 178
-------
7
Następnie odejmujemy 7 od 1. Znowu nie możemy tego zrobić, więc pożyczamy 1 z kolumny setek. Zatem 1 staje się 11, a 3 w kolumnie setek staje się 2. Teraz odejmujemy 7 od 11, co daje 4. Zapisujemy 4 pod linią w kolumnie dziesiątek.
231215
- 178
-------
47
Na koniec odejmujemy 1 od 2, co daje 1. Zapisujemy 1 pod linią w kolumnie setek. Ostateczny wynik to 147.
231215
- 178
-------
147
Mnożenie Pisemne
Mnożenie pisemne zaczynamy od ustawienia liczb jedna pod drugą. Mnożymy każdą cyfrę dolnej liczby przez każdą cyfrę górnej liczby, zaczynając od prawej strony. Wyniki zapisujemy w osobnych wierszach, przesuwając każdy kolejny wiersz o jedno miejsce w lewo.
Po pomnożeniu wszystkich cyfr, dodajemy wszystkie wiersze, aby otrzymać ostateczny wynik. Należy pamiętać o przenoszeniu cyfr, gdy suma w kolumnie jest większa lub równa 10.
Przykład: Pomnóżmy pisemnie liczby 123 i 45.
123
x 45
-------
Najpierw mnożymy 123 przez 5:
5 x 3 = 15 (piszemy 5, przenosimy 1)
5 x 2 = 10 + 1 (przeniesione) = 11 (piszemy 1, przenosimy 1)
5 x 1 = 5 + 1 (przeniesione) = 6 (piszemy 6)
Zatem pierwszy wiersz to 615.
123
x 45
-------
615
Następnie mnożymy 123 przez 4 (pamiętając o przesunięciu wyniku o jedno miejsce w lewo):
4 x 3 = 12 (piszemy 2, przenosimy 1)
4 x 2 = 8 + 1 (przeniesione) = 9 (piszemy 9)
4 x 1 = 4 (piszemy 4)
Zatem drugi wiersz to 4920.
123
x 45
-------
615
+ 4920
Dodajemy wiersze 615 i 4920: 615 + 4920 = 5535. Ostateczny wynik to 5535.
123
x 45
-------
615
+ 4920
-------
5535
Dzielenie Pisemne
Dzielenie pisemne, zwane też dzieleniem długim, jest bardziej złożone. Polega na stopniowym dzieleniu cyfr dzielnej przez dzielnik. Zapisujemy dzielną i dzielnik obok siebie, oddzielając je pionową linią, a nad dzielną rysujemy linię, pod którą będziemy zapisywać wynik (iloraz).
Zaczynamy od dzielenia pierwszej cyfry (lub grupy cyfr) dzielnej przez dzielnik. Jeśli dzielnik jest większy niż pierwsza cyfra dzielnej, bierzemy dwie pierwsze cyfry. Zapisujemy wynik dzielenia (iloraz) nad dzielną. Następnie mnożymy iloraz przez dzielnik i zapisujemy wynik pod odpowiednimi cyframi dzielnej. Odejmujemy wynik mnożenia od tych cyfr dzielnej. Do wyniku odejmowania dopisujemy następną cyfrę dzielnej i powtarzamy proces dzielenia.
Przykład: Podzielmy pisemnie liczbę 678 przez 3.
226
3 | 678
- 6
----
07
- 6
----
18
- 18
----
0
Dzielimy 6 przez 3, co daje 2. Zapisujemy 2 nad 6.
Mnożymy 2 przez 3, co daje 6. Zapisujemy 6 pod 6 i odejmujemy: 6 - 6 = 0.
Przepisujemy następną cyfrę dzielnej (7) obok 0, otrzymując 7. Dzielimy 7 przez 3, co daje 2. Zapisujemy 2 nad 7.
Mnożymy 2 przez 3, co daje 6. Zapisujemy 6 pod 7 i odejmujemy: 7 - 6 = 1.
Przepisujemy następną cyfrę dzielnej (8) obok 1, otrzymując 18. Dzielimy 18 przez 3, co daje 6. Zapisujemy 6 nad 8.
Mnożymy 6 przez 3, co daje 18. Zapisujemy 18 pod 18 i odejmujemy: 18 - 18 = 0. Wynik to 226.
Działania pisemne na liczbach naturalnych są kluczowe dla zrozumienia i wykonywania bardziej zaawansowanych operacji matematycznych. Ćwiczenie tych umiejętności pozwala na swobodne operowanie liczbami i rozwiązywanie problemów matematycznych w życiu codziennym.
