Hej! Gotowi na powtórkę z potęg i pierwiastków? To ważny temat, więc przejdźmy do konkretów. Razem damy radę!
Potęgi
Podstawowe definicje
Zacznijmy od podstaw. Potęga to skrócony zapis mnożenia. Na przykład, an oznacza, że a mnożymy przez siebie n razy.
a to podstawa potęgi. n to wykładnik potęgi.
Pamiętaj: a1 = a. Czyli każda liczba podniesiona do potęgi pierwszej daje samą siebie.
I jeszcze jedno: a0 = 1, jeśli a jest różne od zera. Zero do potęgi zerowej nie jest zdefiniowane!
Działania na potęgach o tej samej podstawie
Co się dzieje, gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie? Dodajemy wykładniki!
Wzór: am * an = am+n
Przykład: 23 * 22 = 23+2 = 25 = 32
A co z dzieleniem? Odejmujemy wykładniki!
Wzór: am / an = am-n
Przykład: 35 / 32 = 35-2 = 33 = 27
Potęgowanie potęgi
Gdy potęgujemy potęgę, mnożymy wykładniki.
Wzór: (am)n = am*n
Przykład: (52)3 = 52*3 = 56
Potęgowanie iloczynu i ilorazu
Potęga iloczynu to iloczyn potęg.
Wzór: (a * b)n = an * bn
Przykład: (2 * 3)2 = 22 * 32 = 4 * 9 = 36
Potęga ilorazu to iloraz potęg.
Wzór: (a / b)n = an / bn
Przykład: (6 / 2)3 = 63 / 23 = 216 / 8 = 27
Potęgi o wykładniku ujemnym
a-n = 1 / an. Pamiętaj o tym!
Przykład: 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8
Pierwiastki
Definicja pierwiastka
Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania.
Zapis: n√a = b oznacza, że bn = a.
n to stopień pierwiastka. a to liczba podpierwiastkowa.
Pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy (stopnia 2) zapisujemy jako √a, bez jawnego zapisu stopnia pierwiastka.
Działania na pierwiastkach
Pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków (o tym samym stopniu!).
Wzór: n√(a * b) = n√a * n√b
Przykład: √ (4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6
Pierwiastek z ilorazu to iloraz pierwiastków (o tym samym stopniu!).
Wzór: n√(a / b) = n√a / n√b
Przykład: √ (16 / 4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2
Pierwiastek z pierwiastka
m√(n√a) = m*n√a. Mnożymy stopnie pierwiastków.
Przykład: 3√(√64) = 3*2√64 = 6√64 = 2
Włączanie i wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Włączanie czynnika pod pierwiastek: a√b = √(a2 * b) (dla pierwiastka kwadratowego). Ogólnie, a n√b = n√(an * b)
Przykład: 2√3 = √(22 * 3) = √12
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: rozkładamy liczbę podpierwiastkową na czynniki, tak aby jeden z nich był kwadratem (lub sześcianem, itd.) liczby całkowitej.
Przykład: √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2
Usuwanie niewymierności z mianownika
Chcemy pozbyć się pierwiastka z mianownika ułamka. Mnożymy licznik i mianownik przez odpowiedni czynnik.
Jeśli mamy a / √b, mnożymy przez √b / √b. Dostajemy (a√b) / b.
Jeśli mamy a / (c + √b), mnożymy przez (c - √b) / (c - √b). Korzystamy ze wzoru (a+b)(a-b)=a2-b2
Przykład: 2 / √3 = (2 * √3) / (√3 * √3) = (2√3) / 3
Potęgi i Pierwiastki - powiązania
Pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym.
n√a = a1/n
A bardziej ogólnie: n√am = am/n
Podsumowanie
Pamiętaj o wzorach na działania na potęgach i pierwiastkach. Ćwicz dużo, rozwiązuj zadania. Zwróć uwagę na definicje i na to, co oznaczają poszczególne symbole. Powodzenia na egzaminie! Dasz radę!
