Witajcie w świecie działań na pierwiastkach, klaso 8! To może brzmieć groźnie, ale zobaczycie, że to całkiem proste. Wyobraźcie sobie pierwiastki jako takie "magiczne pudełka".
Co to jest ten pierwiastek?
Pierwiastek kwadratowy z liczby to tak jakby szukanie boku kwadratu. Kwadrat ma pole, a my chcemy znać długość jednego boku. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z 9 to 3, bo 3 * 3 = 9.
Możemy to zapisać tak: √9 = 3. Ten znak "√" to symbol pierwiastka.
Pomyślcie o pierwiastku sześciennym. Tym razem szukamy boku sześcianu. Jeśli sześcian ma objętość 8, to jego bok ma długość 2, bo 2 * 2 * 2 = 8.
Zapisujemy to: ∛8 = 2. Zwróćcie uwagę na małą trójkę przy symbolu pierwiastka. Oznacza ona, że to pierwiastek sześcienny.
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Możemy dodawać i odejmować pierwiastki tylko wtedy, gdy mają taką samą liczbę pod pierwiastkiem. Wyobraźcie sobie, że √2 to jak "jabłko".
Wtedy 3√2 + 5√2 to tak jak 3 jabłka + 5 jabłek = 8 jabłek, czyli 8√2.
Ale nie możemy dodać √2 i √3. To jak dodać jabłko i gruszkę – nie dostaniemy "owoca jabłkowo-gruszkowego"! Musimy zostawić to tak: √2 + √3.
Przykład: 7√5 - 2√5 = 5√5. Siedem "piątek pierwiastkowych" minus dwie "piątki pierwiastkowe" daje pięć "piątek pierwiastkowych".
Jeśli pierwiastki nie wyglądają na takie same, czasami możemy je uprościć, żeby się do siebie upodobniły. Zaraz zobaczymy, jak to zrobić.
Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Mnożenie i dzielenie są trochę prostsze. Możemy mnożyć i dzielić pierwiastki, nawet jeśli mają różne liczby pod pierwiastkiem!
√2 * √3 = √(2 * 3) = √6. To tak, jakbyśmy połączyli dwie "magiczne pudełka" w jedno większe.
Przykład: √5 * √7 = √35. Proste, prawda?
Dzielenie działa podobnie: √10 / √2 = √(10 / 2) = √5.
Przykład: √21 / √3 = √7.
Upraszczanie pierwiastków
Czasami pod pierwiastkiem mamy dużą liczbę. Możemy ją spróbować rozłożyć na czynniki pierwsze i zobaczyć, czy da się coś "wyciągnąć" przed pierwiastek.
Weźmy √12. Możemy to zapisać jako √(4 * 3). A wiemy, że √4 = 2.
Więc √12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3. "Wyciągnęliśmy" 2 przed pierwiastek!
Pomyślcie o tym jak o rozkładaniu klocków LEGO. Duży klocek rozkładamy na mniejsze, które pasują do siebie.
Przykład: √50 = √(25 * 2) = √25 * √2 = 5√2.
Inny przykład: √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3√2.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Często w matematyce nie lubimy mieć pierwiastka w mianowniku (na dole ułamka). Musimy się go pozbyć! To nazywa się "usuwaniem niewymierności z mianownika".
Jak to zrobić? Mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, który jest w mianowniku.
Na przykład, mamy ułamek 1/√2. Mnożymy licznik i mianownik przez √2.
Dostajemy (1 * √2) / (√2 * √2) = √2 / 2. Pierwiastek zniknął z mianownika!
Przykład: 3/√5 = (3 * √5) / (√5 * √5) = 3√5 / 5.
Trochę trudniejsze przypadki
A co jeśli w mianowniku mamy coś w stylu (2 + √3)? Wtedy musimy pomnożyć licznik i mianownik przez coś, co nazywa się sprzężeniem.
Sprzężenie do (2 + √3) to (2 - √3). Zmieniamy znak pomiędzy liczbą a pierwiastkiem.
Więc mnożymy: 1/(2 + √3) * (2 - √3)/(2 - √3) = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3.
Podsumowanie
Działania na pierwiastkach, to nic strasznego. Pamiętajcie o tych kilku zasadach:
- Dodajemy i odejmujemy tylko "takie same" pierwiastki.
- Mnożymy i dzielimy bez problemu.
- Upraszczamy, rozkładając na czynniki.
- Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc przez odpowiedni pierwiastek lub sprzężenie.
Ćwiczcie regularnie, a pierwiastki przestaną być dla Was tajemnicą! Powodzenia!
