Zajmijmy się teraz trójkątami. Konkretnie, rozważmy sytuację, w której dwa boki trójkąta mają długości 1 i 4. Chcemy dowiedzieć się, jakie ograniczenia nakłada to na długość trzeciego boku.
Wyobraźmy sobie te dwa boki, jeden krótki (długości 1), a drugi długi (długości 4). Możemy je ze sobą łączyć na różne sposoby, tworząc różne trójkąty. Zastanówmy się, jak bardzo może się zmieniać długość trzeciego boku, żeby w ogóle powstał trójkąt.
Nierówność trójkąta
Kluczową zasadą, którą musimy znać, jest nierówność trójkąta. Mówi ona, że suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta musi być większa niż długość trzeciego boku. Inaczej mówiąc, nie da się zbudować trójkąta, jeśli jeden z boków jest dłuższy lub równy sumie pozostałych dwóch.
Spróbujmy to zrozumieć na przykładzie. Jeśli mamy patyczek o długości 5 i dwa patyczki o długości 2 i 2, to nie zrobimy z nich trójkąta. Patyczki o długości 2 i 2 będą leżały na patyczku o długości 5. Nie "domkną" trójkąta.
Formalnie, dla trójkąta o bokach a, b i c, nierówność trójkąta wyraża się trzema nierównościami:
- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
Zastosowanie nierówności trójkąta do naszego problemu
W naszym przypadku mamy dwa boki o długościach 1 i 4. Oznaczmy długość trzeciego boku jako x. Musimy zastosować nierówność trójkąta i sprawdzić, jakie warunki musi spełniać x.
Zastosujmy nierówność trójkąta:
- 1 + 4 > x => 5 > x
- 1 + x > 4 => x > 3
- 4 + x > 1 => x > -3 (ta nierówność jest zawsze spełniona, ponieważ długość boku musi być dodatnia)
Z powyższych nierówności wynika, że x musi być większe od 3 i mniejsze od 5. Możemy to zapisać jako 3 < x < 5. Czyli długość trzeciego boku musi mieścić się w przedziale od 3 do 5, ale bez tych wartości granicznych.
Interpretacja wyniku
Oznacza to, że jeśli trzeci bok ma długość 3 lub mniej, to nie da się zbudować trójkąta. Boki o długości 1 i 4 nie będą mogły się "domknąć". Podobnie, jeśli trzeci bok ma długość 5 lub więcej, to również nie da się zbudować trójkąta.
Wyobraźmy sobie, że trzeci bok ma długość dokładnie 3. Wtedy boki o długości 1 i 3 leżą na boku o długości 4. To linia prosta, a nie trójkąt. Analogicznie, jeśli trzeci bok ma długość dokładnie 5, to bok o długości 4 i bok o długości 1 leżą na boku o długości 5. Znowu mamy linię prostą, a nie trójkąt.
Jednak, jeśli długość trzeciego boku jest pomiędzy 3 a 5, to możemy zbudować trójkąt. Im bliżej 3, tym trójkąt będzie bardziej "płaski". Im bliżej 5, tym trójkąt również będzie bardziej "płaski", ale w innym kierunku.
Przykłady
Sprawdźmy kilka przykładów:
- Jeśli x = 3.5, to 1 + 3.5 > 4, 1 + 4 > 3.5, i 4 + 3.5 > 1. Wszystkie nierówności są spełnione, więc da się zbudować trójkąt.
- Jeśli x = 4, to 1 + 4 > 4, 1 + 4 > 4, i 4 + 4 > 1. Wszystkie nierówności są spełnione, więc da się zbudować trójkąt.
- Jeśli x = 2, to 1 + 2 < 4. Nierówność trójkąta nie jest spełniona, więc nie da się zbudować trójkąta.
- Jeśli x = 6, to 1 + 4 < 6. Nierówność trójkąta nie jest spełniona, więc nie da się zbudować trójkąta.
Podsumowanie
Podsumowując, jeśli dwa boki trójkąta mają długości 1 i 4, to długość trzeciego boku (x) musi spełniać warunek 3 < x < 5. Wynika to z nierówności trójkąta, która mówi, że suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta musi być większa niż długość trzeciego boku. Pamiętajmy o tej prostej, ale bardzo ważnej zasadzie, która pozwala nam określić, czy z danych boków da się zbudować trójkąt.
Nierówność trójkąta jest fundamentalnym pojęciem w geometrii euklidesowej i ma zastosowanie w wielu problemach związanych z trójkątami, zarówno w teorii, jak i w praktyce. Rozumienie tej zasady pozwala na rozwiązywanie różnorodnych zadań i analizę właściwości trójkątów.