Hej! Dziś zajmiemy się dodawaniem ułamków, ale nie takich prostych, tylko tych z różnymi mianownikami. To może brzmieć trochę skomplikowanie, ale obiecuję, że krok po kroku wszystko wytłumaczymy. Bez obaw, poradzisz sobie!
Co to jest ułamek?
Zacznijmy od podstaw. Ułamek to sposób na przedstawienie części całości. Składa się z dwóch liczb oddzielonych kreską ułamkową: licznika (na górze) i mianownika (na dole). Na przykład, w ułamku 1/2, 1 to licznik, a 2 to mianownik. Mianownik mówi nam, na ile równych części podzieliliśmy całość. Licznik mówi nam, ile z tych części bierzemy pod uwagę.
Wyobraź sobie pizzę podzieloną na 8 kawałków. Jeśli zjesz 3 kawałki, to zjadłeś 3/8 (trzy ósme) pizzy. 3 to licznik, a 8 to mianownik. Proste, prawda?
Mianownik – klucz do sukcesu
Mianownik, jak już wiesz, pokazuje, na ile części podzielona jest całość. Ważne jest, żeby zrozumieć, że możemy dodawać do siebie ułamki tylko wtedy, gdy mają ten sam mianownik. To tak, jakby dodawać jabłka do jabłek, a nie jabłka do gruszek.
Pomyśl o dwóch pizzach. Jedna jest podzielona na 4 kawałki (ćwiartki), a druga na 8 kawałków (ósme). Nie możesz łatwo powiedzieć, ile kawałków pizzy masz razem, dopóki nie zamienisz ich na tę samą "jednostkę". Czyli, musisz sprawić, żeby obie pizze miały tyle samo kawałków.
Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Zanim przejdziemy do trudniejszych przypadków, powtórzmy sobie dodawanie ułamków o tych samych mianownikach. To bardzo proste. Dodajesz liczniki, a mianownik pozostaje bez zmian.
Na przykład: 1/5 + 2/5 = (1+2)/5 = 3/5. Czyli, jeśli masz jedną piątą pizzy i dodasz do niej dwie piąte pizzy, to będziesz miał trzy piąte pizzy. Łatwe, nie?
Wspólny mianownik – nasz cel
Skoro wiemy, jak dodawać ułamki o tych samych mianownikach, to czas nauczyć się, jak doprowadzić do sytuacji, żeby te mianowniki były takie same. To właśnie nazywamy szukaniem wspólnego mianownika.
Wspólny mianownik to taka liczba, która jest podzielna przez oba mianowniki, które mamy w dodawanych ułamkach. Innymi słowy, to liczba, którą można uzyskać, mnożąc każdy z mianowników przez jakąś inną liczbę całkowitą.
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW)
Najczęściej, aby ułatwić sobie życie, szukamy Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW) mianowników. NWW to najmniejsza liczba, która jest podzielna przez wszystkie mianowniki. Dzięki temu, ułamki po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mają najprostsze możliwe postacie.
Weźmy na przykład ułamki 1/4 i 1/6. Szukamy NWW liczb 4 i 6. Wielokrotności liczby 4 to: 4, 8, 12, 16, 20, 24... Wielokrotności liczby 6 to: 6, 12, 18, 24, 30... Widzimy, że najmniejszą liczbą, która występuje w obu listach, jest 12. Zatem NWW(4, 6) = 12.
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika
Gdy już znajdziemy wspólny mianownik (najczęściej NWW), musimy sprowadzić ułamki do tego mianownika. Robimy to, mnożąc licznik i mianownik każdego ułamka przez odpowiednią liczbę, tak aby mianownik stał się równy wspólnemu mianownikowi.
Wróćmy do przykładu 1/4 i 1/6. NWW(4, 6) = 12. Aby sprowadzić 1/4 do mianownika 12, musimy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez 3: (1 * 3) / (4 * 3) = 3/12. Aby sprowadzić 1/6 do mianownika 12, musimy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez 2: (1 * 2) / (6 * 2) = 2/12.
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – krok po kroku
Teraz, gdy już mamy wszystkie narzędzia, możemy dodać ułamki o różnych mianownikach. Oto kroki:
Krok 1: Znajdź wspólny mianownik (NWW).
Krok 2: Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika.
Krok 3: Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian.
Krok 4: Uprość ułamek (jeśli to możliwe).
Przykłady
Przykład 1: 1/3 + 1/2
Krok 1: NWW(3, 2) = 6.
Krok 2: 1/3 = (1 * 2) / (3 * 2) = 2/6. 1/2 = (1 * 3) / (2 * 3) = 3/6.
Krok 3: 2/6 + 3/6 = (2+3)/6 = 5/6.
Krok 4: 5/6 nie można uprościć.
Zatem 1/3 + 1/2 = 5/6.
Przykład 2: 1/4 + 2/5
Krok 1: NWW(4, 5) = 20.
Krok 2: 1/4 = (1 * 5) / (4 * 5) = 5/20. 2/5 = (2 * 4) / (5 * 4) = 8/20.
Krok 3: 5/20 + 8/20 = (5+8)/20 = 13/20.
Krok 4: 13/20 nie można uprościć.
Zatem 1/4 + 2/5 = 13/20.
Uproszczanie ułamków
Po dodaniu ułamków, często warto sprawdzić, czy wynikowy ułamek można uprościć. Uproszczenie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik (NWD). Jeśli nie znasz NWD, możesz próbować dzielić licznik i mianownik przez kolejne liczby pierwsze (2, 3, 5, 7, ...), aż nie da się już ich podzielić przez tę samą liczbę.
Na przykład, rozważmy ułamek 6/8. Zarówno 6, jak i 8 są podzielne przez 2. Dzieląc licznik i mianownik przez 2, otrzymujemy 3/4. Ułamka 3/4 nie można już bardziej uprościć, ponieważ 3 i 4 nie mają wspólnych dzielników większych niż 1.
Podsumowanie
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach to nic strasznego! Pamiętaj o krokach: znajdź wspólny mianownik (najlepiej NWW), sprowadź ułamki do tego mianownika, dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian i na koniec, uprość ułamek (jeśli to możliwe). Z odrobiną praktyki, staniesz się mistrzem dodawania ułamków!
Powodzenia!
