Witamy w przewodniku po dodawaniu i odejmowaniu liczb wymiernych! Zrozumienie tych operacji jest kluczowe dla wielu obszarów matematyki. Zaczynamy!
Czym są liczby wymierne?
Liczba wymierna to każda liczba, którą można zapisać jako ułamek a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b nie jest równe zero. Obejmuje to liczby całkowite, ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne skończone i ułamki dziesiętne okresowe. Przykłady liczb wymiernych to: 2, -5, 1/2, 0.75, -2.333... (okresowe 3).
Liczby całkowite są również liczbami wymiernymi, ponieważ można je zapisać jako ułamki z mianownikiem równym 1. Na przykład 5 = 5/1, a -3 = -3/1.
Ważne jest, by pamiętać, że liczba niewymierna, taka jak pierwiastek kwadratowy z 2, nie jest liczbą wymierną. Nie można jej zapisać jako dokładny ułamek.
Dodawanie liczb wymiernych o jednakowych mianownikach
Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach jest proste. Sumujemy liczniki, a mianownik pozostaje ten sam. Na przykład, jeśli mamy dodać 1/5 i 2/5, dodajemy 1 + 2, co daje 3. Mianownik pozostaje 5. Więc 1/5 + 2/5 = 3/5.
Spójrzmy na inny przykład. Obliczamy 3/8 + 2/8. Dodajemy liczniki: 3 + 2 = 5. Mianownik pozostaje bez zmian: 8. Zatem 3/8 + 2/8 = 5/8.
Należy pamiętać, że wynik zawsze należy uprościć, jeśli to możliwe. W tym przypadku, 5/8 jest już ułamkiem nieskracalnym.
Dodawanie liczb wymiernych o różnych mianownikach
Jeśli ułamki mają różne mianowniki, musimy najpierw znaleźć wspólny mianownik. Najczęściej używamy najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) mianowników.
Załóżmy, że chcemy dodać 1/3 i 1/4. NWW liczb 3 i 4 to 12. Teraz musimy przekształcić oba ułamki, aby miały mianownik równy 12.
Aby zamienić 1/3 na ułamek o mianowniku 12, mnożymy licznik i mianownik przez 4: (1 * 4) / (3 * 4) = 4/12. Aby zamienić 1/4 na ułamek o mianowniku 12, mnożymy licznik i mianownik przez 3: (1 * 3) / (4 * 3) = 3/12. Teraz możemy dodać: 4/12 + 3/12 = 7/12.
Odejmowanie liczb wymiernych o jednakowych mianownikach
Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach jest podobne do dodawania. Odejmujemy liczniki, a mianownik pozostaje ten sam. Na przykład, jeśli chcemy odjąć 2/7 od 5/7, odejmujemy 2 od 5, co daje 3. Mianownik pozostaje 7. Więc 5/7 - 2/7 = 3/7.
Spójrzmy na inny przykład. Obliczmy 7/9 - 4/9. Odejmujemy liczniki: 7 - 4 = 3. Mianownik pozostaje bez zmian: 9. Zatem 7/9 - 4/9 = 3/9. Możemy uprościć ten ułamek dzieląc licznik i mianownik przez 3: 3/9 = 1/3.
Pamiętaj o upraszczaniu wyników.
Odejmowanie liczb wymiernych o różnych mianownikach
Podobnie jak w przypadku dodawania, jeśli ułamki mają różne mianowniki, musimy najpierw znaleźć wspólny mianownik, czyli NWW mianowników.
Załóżmy, że chcemy odjąć 1/5 od 1/2. NWW liczb 2 i 5 to 10. Zamieniamy ułamki: 1/2 = 5/10 i 1/5 = 2/10. Następnie odejmujemy: 5/10 - 2/10 = 3/10.
Inny przykład: 3/4 - 1/6. NWW liczb 4 i 6 to 12. Zamieniamy ułamki: 3/4 = 9/12 i 1/6 = 2/12. Następnie odejmujemy: 9/12 - 2/12 = 7/12.
Dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych
Liczby dziesiętne są szczególnym rodzajem liczb wymiernych. Dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych jest dość proste, jeśli pamiętamy o jednej zasadzie: należy wyrównać przecinki dziesiętne.
Załóżmy, że chcemy dodać 3.14 i 2.5. Zapisujemy liczby jedna pod drugą, tak aby przecinki były w jednej kolumnie: 3.14 + 2.50 (dodajemy zero dla wyrównania) ------- 5.64
Podobnie, aby odjąć 1.2 od 4.7, zapisujemy: 4.7 - 1.2 ------- 3.5
Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych
Liczba mieszana to liczba składająca się z liczby całkowitej i ułamka. Najprostszym sposobem na dodanie lub odjęcie liczb mieszanych jest zamiana ich na ułamki niewłaściwe.
Na przykład, aby dodać 2 1/2 i 1 1/4, najpierw zamieniamy je na ułamki niewłaściwe: 2 1/2 = 5/2 i 1 1/4 = 5/4. Następnie znajdujemy wspólny mianownik, czyli 4. Zamieniamy 5/2 na 10/4. Teraz możemy dodać: 10/4 + 5/4 = 15/4. Na koniec, zamieniamy 15/4 z powrotem na liczbę mieszaną: 15/4 = 3 3/4.
Podobna procedura dotyczy odejmowania. Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, znajdź wspólny mianownik, odejmij i uprość.
Zastosowania praktyczne
Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych ma wiele zastosowań w życiu codziennym. Używamy ich podczas gotowania, mierzenia, liczenia pieniędzy, obliczania odległości i wielu innych czynnościach.
Na przykład, jeśli pieczemy ciasto i przepis wymaga 1/2 szklanki mąki i 1/4 szklanki cukru, musimy dodać te ułamki, aby wiedzieć, ile łącznie suchych składników potrzebujemy. 1/2 + 1/4 = 3/4 szklanki.
Inny przykład: jeśli kupujemy tkaninę, która kosztuje 12.50 zł za metr, i potrzebujemy 2.3 metra, musimy pomnożyć 12.50 przez 2.3, a mnożenie liczb dziesiętnych bazuje na zasadach dodawania i odejmowania.
Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza! Im więcej będziesz ćwiczył dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych, tym łatwiejsze się to stanie. Powodzenia!
