Witaj! Przygotuj się do egzaminu z matematyki. Porozmawiamy o równaniach kwadratowych z parametrem. Skupimy się na tym, kiedy takie równanie ma dwa różne pierwiastki.
Równanie Kwadratowe i Parametr
Przypomnijmy sobie, jak wygląda równanie kwadratowe. Ma postać ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b, i c są współczynnikami i a ≠ 0.
Parametr to litera (często m, k, p, czy a) występująca w równaniu. Jej wartość wpływa na rozwiązanie równania.
Naszym celem jest znalezienie wartości parametru, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki.
Dwa Różne Pierwiastki – Warunek
O liczbie pierwiastków decyduje wyróżnik, oznaczany jako Δ (delta).
Wzór na wyróżnik to: Δ = b2 - 4ac.
Dla dwóch *różnych* pierwiastków, Δ > 0. To kluczowa informacja!
Kiedy Δ > 0?
Musimy obliczyć wyróżnik dla naszego konkretnego równania z parametrem. Następnie rozwiązujemy nierówność Δ > 0 ze względu na ten parametr.
Rozważmy przykład. Mamy równanie: x2 + 2mx + m + 2 = 0.
W tym przypadku: a = 1, b = 2m, c = m + 2.
Obliczamy wyróżnik: Δ = (2m)2 - 4 * 1 * (m + 2) = 4m2 - 4m - 8.
Chcemy, żeby Δ > 0. Zatem: 4m2 - 4m - 8 > 0.
Rozwiązywanie Nierówności
Mamy nierówność kwadratową: 4m2 - 4m - 8 > 0.
Podzielmy obie strony przez 4: m2 - m - 2 > 0.
Znajdźmy pierwiastki równania m2 - m - 2 = 0. Możemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego lub rozłożyć na czynniki.
Rozkładamy na czynniki: (m - 2)(m + 1) = 0.
Zatem m = 2 lub m = -1. To są miejsca zerowe.
Teraz musimy określić, dla jakich wartości m, nierówność m2 - m - 2 > 0 jest spełniona.
Narysujemy parabolę. Ramiona paraboli skierowane są do góry (bo współczynnik przy m2 jest dodatni).
Parabola przecina oś m w punktach -1 i 2.
Nierówność jest spełniona, gdy parabola jest *nad* osią m.
Stąd, m ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞). To jest odpowiedź!
Przykładowe Zadania
Rozwiążmy jeszcze jeden przykład. Znajdź wartości parametru k, dla których równanie x2 - (k + 3)x + k = 0 ma dwa różne pierwiastki.
Mamy: a = 1, b = -(k + 3), c = k.
Obliczamy wyróżnik: Δ = (-(k + 3))2 - 4 * 1 * k = k2 + 6k + 9 - 4k = k2 + 2k + 9.
Chcemy, żeby Δ > 0. Zatem: k2 + 2k + 9 > 0.
Obliczamy wyróżnik dla tego trójmianu kwadratowego (uwaga! teraz liczymy wyróżnik względem *k*): Δk = 22 - 4 * 1 * 9 = 4 - 36 = -32.
Ponieważ Δk < 0 i współczynnik przy k2 jest dodatni, to parabola leży *cała* nad osią k. Oznacza to, że nierówność k2 + 2k + 9 > 0 jest spełniona dla *każdego* k.
Odpowiedź: k ∈ ℝ (k należy do zbioru liczb rzeczywistych).
Pamiętaj!
Zawsze sprawdzaj, czy współczynnik przy x2 (czyli a) jest różny od zera. Jeśli występuje tam parametr, musisz rozważyć przypadki, kiedy a = 0 osobno.
Uważaj na znaki podczas obliczeń. To częsty powód błędów!
Pamiętaj o poprawnej interpretacji nierówności. Czy szukamy wartości większych, mniejszych, większych lub równych, albo mniejszych lub równych zero?
Podsumowanie
Aby równanie kwadratowe miało dwa różne pierwiastki, wyróżnik Δ musi być większy od zera (Δ > 0).
Kroki postępowania:
- Oblicz Δ.
- Rozwiąż nierówność Δ > 0 ze względu na parametr.
- Zapisz odpowiedź w postaci przedziału lub sumy przedziałów.
Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza. Rozwiąż jak najwięcej zadań.
